Плоскость

Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору получается на основе использования скалярного произведения двух векторов. Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости α(рис 3).

Тогда и по условию перпендикулярности векторов получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М₀ и перпендикулярной вектору :

a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀) = 0 (5)

После раскрытия скобок в уравнении (5) получается уравнение

ax + by + cz + d = 0, (6)

где d = − ax₀ – by₀ – cz₀.

Уравнение (6) называется общим уравнением плоскости в пространстве.

Вектор ={a, b, c} называется нормальным вектором плоскости, заданной уравнениями (5) или (6).

Если плоскость проходит через три точки М(а, 0, 0), N(0, b, 0) и P(0, 0, c), лежащие на осях координат, то ее уравнение имеет вид

(7)

Уравнение (7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Угол, образованный двумя плоскостями, находятся по формуле

где − нормальный вектор плоскости a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0,

− нормальный вектор плоскости a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0.

Условие параллельности плоскостей имеет вид

Условием перпендикулярности плоскостей является равенство

.

Расстояние от точки до плоскости ax + by +cz + d = 0

определяется по формуле

.

Дата добавления: 2014-10-17