Пример. Построить график функции y =

Построить график функции y =

Решение.

1. Область существования функции

D(f) = .

2. Функция не является четной или нечетной

3. Точки пересечения с осями координат:

Если х = 0, то у = 0; если у=0, то х=0,

т.е кривая пересекает ось 0х и ось 0у в начале координат.

4. Точка разрыва х = -1. Исследуем характер разрыва:

, .

Таким образом, разрыв II рода.

Значит х = -1 – вертикальная асимптота.

Найдем горизонтальные асимптоты графика функции:

, .

Значит, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты графика функции :

k =

Заметим сразу, что

=

=.

Таким образом, график имеет наклонную асимптоту y= .

5. Вычислим первую производную и исследуем ее знаки

.

Покажем изменение знака производной на числовой прямой:

для − функция возрастает.

− функция убывает.

В точках х = -3 и х = 0 производная у' = 0, но в окрестности точки х = -3 она меняет знак, поэтому в точке х= -3 функция имеет экстремум (максимум), в окрестности точки х =0 производная у' не изменяет знака, следовательно, точка х = 0 не является точкой экстремума функции.

− максимум функции.

В точке х = -1 не существует производная функции y' и не существует и сама функция, поэтому х=-1 не является критической точкой.

6...

Покажем изменение знака второй производной на числовой прямой:

для − функция выпукла вверх

для − функция вогнута.

В точке х = 0: y'' = 0 и в окрестности этой точки вторая производная изменяет знак, в точке х = 0 функция имеет точку перегиба.

8. Результаты этих исследований наносим на график (рис. 10).

Дата добавления: 2014-10-17