Общая форма параметрически заданных случайных процессов

Случайный процесс в виде ряда

Рассмотрим случайный процесс, представленный рядом вида:

(1.86)

где коэффициенты и (являются некоррелированными случайными величинами с нулевыми математическими ожиданиями.

Рядами вида (1.86) широко пользуются для построения моделей случайных процессов при исследовании различных радио­технических систем.

Найдем корреляционную функцию случайного процесса (1.86):

(1.87)

Поскольку по условию и не коррелированы между собой, то:

и (1.87) упрощается:

(1.88)

Предположи далее, что:

Тогда (1.88) после элементарного тригонометрического преобразования приобретает вид:

То есть:

(1.89)

Как видно, корреляционная функция случайного процесса (1.86) зависит при сделанных предположениях только от раз­ности аргументов и является периодической функцией.

Она содержит все те частоты, которые имеют, а амплитуды являются средними квадратами амплитуд соответствующих членов в.

Математическое ожидание равно нулю, так как

Следовательно, можно утверждать, что процесс (1.86) стационарен в широком смысле при сделанных допущениях. Нетру­дно показать [2], что для стационарности в уз­ком смысле необходимо, чтобы распределение коэффициентов было нормальным.

Рассмотренные выше примеры случайных процессов относятся к так называемым параметрически заданным, т.е. к таким, в ко­торых случайность сосредоточена в некоторых случайных величи­нах, функциями которых данные процессы является.

В общем виде их можно описать формулой:

(1.90)

где – заданная функция, - скалярный или векторный случайный параметр, имеющий плотность вероятности.

Математическое ожидание процесса определяется выражением:

(1.91)

а ковариационная функция

(1.92)

если функция линейна относительно, т.е.

(1.93)

то математическое ожидание и ковариационная функция процесса определяются без знания закона распределения пара­метра. Достаточно знать только математические ожидания составляющей и ковариационную матрицу параметра.

Применяя операцию математического ожидания к (1.93), находим

,

где – математическое ожидание составляющих вектора,

(1.94)

здесь - элементы ковариационной матрицы случайного вектора А.

В качестве конкретного примера рассмотрим так называ­емую веерообразную случайную функцию

(1.95)

часто используемую при анализе надежности радиотехнических систем при постепенных отказах. В качестве может выступать какой-либо из параметров системы, например коэффи­циент усиления, полоса пропускания, изменяющаяся во времени вследствие старения элементов. Здесь, - скалярные неза­висимые случайные величины. Найдем математическое ожидание:

(1.96)

Ковариационная функция описывается следующим выражением:

(1.97)

Как видно из (1.96) и (1.97), процесс вида (1.95) нестационарен, так как математическое ожидание зависит от времени, а ковариационная функция зависит порознь от аргумен­тов и.

Дата добавления: 2014-10-17