Энергетический спектр стационарного случайного процесса

При исследовании детерминированных функций времени большое распространение получили частотные методы анализа, основанные на использовании преобразования Фурье.

Как известно, особая роль преобразования Фурье обуслов­лена тем, что реакция линейной динамической системы с постоян­ными параметрами на "элементарную функцию" гармонического вида в установившемся режиме также представляет собой гар­монический процесс. Большая распространенность и важность линейных динамических систем с постоянными параметрами - об­стоятельство, в одинаковой мере касающееся как детерминирован­ных, так и случайных процессов.

По этой причине было бы желательно распространить частот­ные методы анализа и на случайные процессы.

Напомним, что всякая периодическая функция времени, удовлетворяющая условиям Дирихле может быть представлена ря­дом Фурье, а если непериодична, но абсолютно интег­рируема, то для нее существует интеграл Фурье

(1.102)

где называется спектральной функцией процесса х(t).

Можно записать

(1.103)

где называют амплитудным спектром, a - фазо­вым спектром функции.

Рассмотрим особенности, возникающие при применении гармонического анализа к случайным процессам. В пп. 1.1 мы определили случайный процесс как совокупность реализаций, которые в общем случае начинаются в, заканчиваются в (обладают бесконечной энергией) и не являются периодическими функциями. Следовательно, реализация случайно­го процесса в общем случае не представима ни рядом, ни интег­ралом Фурье. Для того чтобы обойти эту трудность, рассмотрим вначале применительно к детерминированным процессам понятие спектральной плотности средней мощности.

Умножая левую и правую части (1.102) на и интегри­руя в бесконечных пределах, получим

.

Изменим порядок интегрирования:

,

Поскольку

,

то

(1.104)

Выражение (1.104), составляющее содержание так называе­мой теоремы Релея, показывает, что полная энергия равна сумме элементарных энергий спектральных составляющих сигнала, сосредоточенных в полосе около частоты.

Это означает, что имеет смысл спектральной плот­ности энергии и описывает распределение энергии процесса по частоте.

Рассмотрим теперь отрезок функции нa интервале времени [-Т, Т], обозначив его.

Для данного отрезка справедливо соотношение (1.104):

(1.105)

Поделив правую и левую части (1.105) на 2Т и устремляя Т к бесконечности, получим

(1.106)

Обозначим

и перепишем (1.106) в виде

. (1.107)

Если - напряжение на резисторе в 1 Ом или ток, про­текающий через него, то левая часть (1.107) представляет осо­бой полную среднюю мощность процесса. Правая часть (1.107) - описывает ту жe мощность. Отсюда следует, что есть элементарна мощность, приходящаяся на полосу частот в окрестности частоты, а функция описывает распределение средней мощности сигнала по частоте.

Функция называется спектральной плотностью средней мощности процесса. Она имеет размерность энергии и часто называется энергетическим спектром случай­ного процесса.

Вернемся теперь к рассмотрению стационарного случайного процесса и выберем его некоторую реализацию.

Для этой реализации можно найти энергетический спектр, как для детерминированного колебания:

. (1.108)

В зависимости от конкретного выбора реализации случайно­го процесса будем получать различные энергетические спектры.

Энергетический спектр стационарного случайного процесса найдем как среднее по ансамблю энергетических спектров реа­лизаций:

. (1.109)

Введенное понятие энергетического спектра стационарного процесса имеет большое значение в теории радиотехнических сигналов и систем.

Установим связь между энергетическим спектром случайного процесса и его корреляционной функцией.

Перепишем выражение (1.109) в следующем виде:

(1.110)

В полученном выражении

. (1.111)

Заменяя во внутреннем интеграле формулы (1.110) переменную интегрирования по формуле и учитывая (1.111), получаем

. (1.112)

Таким образом, энергетический спектр стационарного случайного процесса является трансформантой Фурье его ковариационной функции.

Полученный результат является следствием глубоких свя­зей между временными и частотными представлениями функций времени применительно к случайным процессам.

Обратное преобразование Фурье для (1.112) дает

(1.113)

Выражение (1.112) можно переписать следующим образом:

=, (1.114)

так как - четная функция аргумента. Следовательно, из (1.113) можно заключить, что является четной функцией частоты.

Кроме понятия энергетического спектра стационарного случайного процесса существует понятие взаимного энергети­ческого спектра двух процессов:

Нетрудно доказать, что взаимный энергетический спектр и взаимная ковариационная функция случайных процессов связаны преобразованием Фурье:

, (1.115)

. (1.116)

Отметим, что поскольку взаимная ковариационная функция может быть нечетной функцией, взаимный энергетический спектр в общем случае является комплексной функцией частоты.

Поскольку

,

то

.

Следовательно,

. (1.117)

В дальнейшем полагается, что стационарны не только процессы и, но и их связи между ними.

Для пояснения физического смысла взаимного энергетического спектра двух случайных стационарных центрированных процессов и найдем ковариационную функцию смеси:

. (1.118)

Применяя к (1.118) преобразование Фурье, находим энергетический спектр смеси

.

Если процессы и статистически независимы, то и.

Применяя формулу (1.118), получаем, что средняя мощность процесса равна сумме средних мощностей слагаемых:

.

Если процессы коррелированы, то в силу (1.117)

и

.

Следовательно

.

Отсюда вытекает, что вещественная часть взаимного энергети­ческого спектра определяет ту часть мощности суммарного про­цесса, которая обусловлена корреляцией слагаемых и.

Дата добавления: 2014-10-17