Огибающая фаза узкополосного случайного процесса

Нормальный случайный процесс

Ввиду особой важности и распространенности в практических приложениях рассмотрим процесс данного типа отдельно.

Определение нормального (гауссовского) случайного процес­са было дано в пп. 1.3.

Совместная плотность вероятности n сечений нормального случайного процесса описывается выражением:

(1.120)

где – определитель матрицы порядка

элементами, которой являются коэффициенты корреляции

– алгебраическое дополнение элемента в определителе которое получается преумножением определителя матрицы (n – 1) – го порядка, найденной на исходной матрице вычеркиванием строки и столбца, на.

Одномерная плотность вероятности нормального процесса имеет вид:

(1.121)

Здесь и – соответственно математическое ожидание и дисперсия процесса в рассматриваемом сечении. График приведен на рисунке 1.34.

Одномерный интегральный закон распределения нормального процесса получается из (1.121)

,

где (t)= – табулированная функция, называемая функцией Лапласа или интегралом вероятности.

Двумерная плотность вероятности нормального процесса описывается формулой

(1.122)

В том случае, когда случайный процесс стационарен,

Поверхность, соответствующая (1.122), изображена на рисунке 1.35.

Если сечения процесса не коррелированы, т.е., то из формулы (1.122) следует:

Это означает, что сечения процесса независимы. Таким образом, из некоррелированности сечений нормального процесса следует их независимость.

Из (1.120) и (1.122) ясно, что n -мерная плотность вероятности нормального стационарного процесса определяется только его ковариационной функцией. Остановимся на этом под­робнее. Зная, можно найти математическое ожидание случайного процесса по формуле:

дисперсию:

и нормированную корреляционную функцию:

Зная, определяем все элементы матрицы

Здесь – интервал между смежными сечениями.

Из матрицы определяются и.

Необходимо помнить, что нормальность распределения одно­го сечения случайного процесса не означает, что совместное распределение двух и более сечений будет нормальным. В этом можно убедиться, рассматривая функции распределения параметри­чески заданного случайного процесса, приведенного в пп. 1.2.

Реальные процессы в физических системах описывается ве­щественными функциями времени, однако гораздо удобнее при математических выкладках работать с комплексными величинами.

Для получения комплексного случайного процесса можно к добавить произвольную мнимую часть и опери­ровать с процессом

(1.123)

Однако произвольная мнимая часть, независимая от исход­ного колебания, неоправданно "увеличивает информацию" о процессе.

Для того чтобы этого избежать, необходимо наложить одно­значную связь на и. В теории колебаний для наложения такой связи широко используют преобразование Гиль­берта. Потребуем, таким образом, чтобы и были парой трансформант преобразования Гильберта:

(1.124)

(1.125)

Сходимость интегралов (1.124) и (1.125) понимается в среднеквадратическом смысле.

Поскольку при подынтегральное выражения обра­щаются в бесконечность, то (1.124) и (1.125) определяются как предел

(1.126)

Определенный в соответствии с (1.124) процесс называется сопряженным.

Достаточным условием существования процесса, сопряженного, является равенство нулю постоянной составляющей. Для эргодических процессов достаточно потребовать

Образуем на действительной оси комплексную функцию

(1.127)

называемую аналитическим сигналом.

Обозначив через и модуль и аргумент аналитического сигнала (1.127)

получим:

(1.128)

(1.129)

и

(1.130)

Функции и называют огибающей и фазой сигнала.

Поскольку данной функции соответствует одно­значно аналитический сигнал, то представление в виде (1.128) является однозначным.

Формула (1.128) определяет случайное колебание в виде проекции на ось абсцисс вектора случайной длины (огибающей), имеющего случайную фазу.

Формула (1.129) выражает проекцию того же вектора на ось ординат.

Понятие огибающей колебания можно обосновать и таким образом.

Возведем в квадрат левую и правую части (1.130) и про­дифференцируем по времени

(1.131)

Из (1.128) и (1.131) вытекает, что в момент времени, когда т.е. при

Наконец, из (1.130) следует, что. Следовательно, огибающая и колебание никогда не пересекаются и имеют общие касательные в момент времени, когда.

Рассмотренное понятие аналитического сигнала удобно для описания модулированных случайных процессов.

Колебания такого типа целесообразно записывать в виде:

(1.132)

где и – функции времени, незначительно изменяющиеся за период высокой частоты

Находя сопряженное колебание, получим

(1.133)

и запишем

где обозначено

В случае медленных изменений и представле­ние об огибающей приобретает наглядный смысл: в нее вписаны "гармонические" колебания с плавно меняющейся высокой часто­той (рис. 1.36).

На рис. 1.36 показана реализация случайного колебания с медленно меняющимися огибающей и фазой.

Комплексное представление гармонических колебаний, широко применяемое в радиотехнике и электро-технике, является частным случаем, рассматриваемого выше комплексного представления колебаний.

Ясно, что, чем медленнее меняются огибающая и фаза ко­лебания, тем уже спектр его.

В пределе при и спектр ко­лебания состоит из одной линии, расположенной на частоте.

Изучение узкополосных процессов, т.е. таких, у которых энергетический спектр сосредоточен в основном в некоторой по­лосе вокруг частоты, представляет значительный ин­терес вследствие их распространенности на практике. Например, "белый" шум, прошедший через узкополосную линейную систему с резонансной частотой, является узкополосным случайным процессом (рис. 1.37).

С учетом (1.132) получаем следующее представление узкополосного случайного процесса

.

Обозначая

,,

получаем

. (1.134)

Аналогичным образом из (1.37) для сопряженного процесса находим

. (1.135)

Из (1.130) следует, что

, (1.136)

, (1.137)

где – огибающая, а – фаза узкополосного случайного процесса.

В ряде случаев (1.134) записывают в виде

,

где называют комплексной огибающей случайного процесса.

Строго говоря, фазой процесса следует считать выражение, но так как на практике измеряется не абсолютное значение, а разность фаз, то представляет интерес изучение вероятностных свойств функции. Поэтому будем в дальнейшем называть фазой узкополосного случайного процесса.

Из (1.134) и (1.135) можно получить:

. (1.138)

. (1.139)

Процессы и называются квадратурными функциями.

Дата добавления: 2014-10-17