Стационарные случайные процессы и эргодическая теорема

Приведенное выше определение стационарного процесса в узком смысле можно проиллюстрировать следующим образом. Возьмем произвольно выбранную совокупность точек (рис1.14) и переместим ее в один и тот же интервал времени t₀ по оси абсцисс.

Рис. 1.14 – Стационарные случайные процессы.

Для стационарного в узком смысле процесса статистические свойства систем случайных величин, ……. и, ……. тождественны.

Это означает что справедливо равенство:

(1.47)

С физической точки зрения (1.47) означает, что комплекс условий, определяющих присущую данному процессу статистическую устойчивость, нeменяется с течением времени. Соотношение (1.47) должно выполняться при любом в том числе и, что соответствует переносу начала отсчета времени в точку.

Тогда (1.47) перепишется в виде:

соответствующее приведенному выше определению случайного в узком смысле процесса.

В качестве примера рассмотрим процесс выхода электродов да накаляющегося катода. Очевидно, вероятностные характеристи­ки этого процесса будут различны при различных температурах катода. В случае, если температура его меняется с течением времени, электронная эмиссия будет представлять собой неста ­ ционарный процесс соотношение (1.47) при этом не выпол­няется.

При установлении температуры катода следует ожидать, что вероятностные характеристики будут стабильными во време­ни и процесс будет стационарным.

Из (1.47) вытекают следующие свойства процесса:

1. Одномерная плотность распределения вероятности не зависит от времени:

2. Двумерная плотность вероятности зависит лишь от равенства аргументов и не зависит от них в отдельности:

3. Математическое ожидание стационарного процесса не зависит от времени:

Это означает, что все реализации такого процесса колеб­лются относительно некоторого среднего уровня, не изменяющего­ся со временем.

4. Дисперсия стационарного случайного процесса не зави­сит от времени.

На основании свойства (2) записываем

(1.48)

При из (1.48) получаем:

Подчеркнем еще раз, что свойствами согласно пп. 1-4 об­ладает стационарный в широком смысле случайный процесс, а существенно более жестким условиям стационарности (1.47) удовлетворяет стационарный в узком смысле случайный процесс.

Вероятностные характеристики стационарных случайных про­цессов могут быть определены двумя путями: либо на основе теоретического исследования условий, определяющих данный процесс, либо на основе эксперимента. На практике в подавляю­щем большинстве случаев используется экспериментальный путь, базирующийся на так называемом эргодическом свойстве стационарных случайных процессов.

Советский математик Л.Я. Хинчин доказал так называемую эргодическую теорему, согласно которой при весьма общих предположениях для большинства стационарных процессов вся статистическая информация, заключенная в ансамбле реализаций, содержится в одной типичной реализации.

Из эргодической теоремы следует, что любая статистическая характеристика случайного процесса, определяемая осреднением по ансамблю реализаций, может быть получена путем осреднения достаточно большой промежуток времени одной реализации.

Поясним вышесказанное следующим образом. Предположим, что имеется ансамбль реализаций случайного процесса (рис. 1.15 а). Рассмотрим его сечение и возможные значения реализаций в момент рисунок 1.15 б.

А) Б)

Рис. 1.15

Пусть требуется вычислить математическое ожидание слу­чайного процесса. Для этого нудно определить сред­нее по всем возможным значениям реализаций в момент. По правилам вычисления среднего имеем:

а поскольку процесс стационарен, то

(1.49)

при любом.

В предельном случае (1.49) приобретает известный вид:

(1.50)

Теперь выделим из процесса некоторую реализацию рисунок 1.15б.

Если процесс является эргодическим, то выполняется равенство:

(1.51)

т.е. среднее по времени ("вдоль" процесса) равно среднему по множеству ("поперек" процесса). Среднее по времени бу­дем в дальнейшем обозначать.

Для эргодического процесса дисперсия может быть опре­делена из соотношения:

(1.52)

а корреляционная функция:

(1.53)

Отметим также одно важное положение, вытекающее из эргодической теоремы: вероятность того, что случайный про­цесс примет значение, лежащее в интервале [ x, x + dx ], равна среднему значению относительного времени пребы­вания реализации в этом интервале при достаточно большом времени наблюдения, т.е.

. (1.55)

Здесь – сумма всех интервалов времени, в течении которых данная реализация имеет значения, лежащие в интервале
– интервале наблюдения.

Сказанное поясняется рисунком 1.16

Рис. 1.16 -

Следует отметить, что стационарность процесса является необходимым, но недостаточным условней его эргодичности.

Можно легко подобрать пример стационарного процесса, для которого не выполняется равенство средних по ансамблю и по времени.

Рассмотрим совокупность реализаций случайного процесса, имеющих вид, изображенный на рис. 1.17. Нетрудно видеть, что в данном случае

Однако такие примеры носят, как правило, искусственный, экзотический характер и не типичны для практически наблюдаемых процессов.

Академиком А.Я. Хинчиным указаны условия, при которых стационарный случайный процесс будет эргодическим. Эти условия является весьма общими и практически выполняются всегда.

В дальнейшем мы будем широко использовать эргодическую теорему для решения практических вопросов, используя операцию осреднения по времени одной реализации случайного процесса.

Ввиду особой важности операции осреднения по времени сигналов рассмотрим ее более подробно.

Рис. 1.17- Реализации случайного процесса

Дата добавления: 2014-10-17