Основные типы случайных процессов

Пример определения математического ожидания и корреляционной функции случайного процесса

Пусть дан случайный процесс

(1.35)

где и некоторые детерминированные функции времени;

,, - независимые случайные величины, плотности вероятности которых соответственно равны,,.

Реализации такого процесса представляют собой синусоиды с изменяющимися в соответствии с функцией амплитудами, смещенные относительно оси абсцисс на функцию (рис. 1.10).

Математическое ожидание процесса определяется выражением

Поскольку математическое ожидание неслучайной функции равно самой функции и неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то

(1.36)

В развернутом виде формула (1.36) записывается следующим образом:

(1.37)

Пусть случайная величина распределена равномерно в интервале т.е. в данном интервале и вне его.

Тогда

Следовательно

(1.38)

Таким образом, математическое ожидание рассматриваемого случайного процесса определяется функцией

Корреляционную функцию определим в соответствии с выражением (1.20)

Используя формулой для произведения синусов двух углов, получим

(1.39)

Раскрывая знак математического ожидания и интегрируя по в пределах имеем

(1.40)

В полученном выражении интеграл представляет собой второй начальный момент случайной величины и является величиной постоянной:

Выражение для корреляционной функции процесса можно записать в окончательном виде:

(1.41)

Из (1.41), полагая, можно найти дисперсию данного случайного процесса:

,

так как

Нормированная корреляционная функция в соответствии с (1.22) оказывается равной

(1.42)

Таким образом, вид нормированной корреляционной функции данного процесса целиком определяется плотностью вероятности случайной частоты.

Например, если случайная частота распределена по закону Коши

График этой функции, зависящей только от разности аргументов и приведен на рис. 1.11.

Выбирая различные плотности вероятности случайной частоты, будем получать различные корреляционные функции.

В зависимости от того, принадлежат ли возможные значения моментов времени t и реализации х (t) случайного процесса дискретному множеству чисел или отрезку (всей) действительной оси, различают следующие типы случайных процессов:

1. Случайный процесс общего типа: моменты t и реализации х (t) могут принимать любые значения на отрезке (или на всей) действительной оси. Примером такого процесса может служить упоминавшийся ранее дробовой шум электронных ламп, возможный вид реализации которого приведен на рис. 1.12.

2. Дискретный случайный процесс: t непрерывно, a х (t) дискретна. Реализация процесса имеет вид ступенчатой функции времени. Такой процесс наблюдается в системах автоматического управления на выходе квантователя сигналов по уровню. Возможная реализация показана на рис. 1.13.

3. Случайная последовательность общего типа: t дискретно, х (t) может принимать значения на отрезке или на всей действительной оси.

Рис. 1.12 – Случайный процесс.

t

Рис. 1.13 – Дискретный случайный процесс.

4. Дискретная случайная последовательность: и t и х (t) дискретны.

В зависимости от свойств функций распределения различают несколько типов случайных процессов. Рассмотрим основные из них.

1. Процессы с независимыми значениями. Для процесса данного типа значения в несовпадающие моменты времени независимы. Другими словами, для любой последовательности, моментов времени совокупность сечений процесса представляет собой взаимно независимые величины. Это означает, что совместное их распределение равно произведению одномерных плотностей вероятности данных случайных величин:

(1.43)

2. Процессы с некоррелированными значениями. От выше рассмотренных процессов с независимыми значениями следует отличать процессы с некоррелированными значениями, для которых справедливо следующее равенство:

(1.44)

Если математическое ожидание случайного процесса с некоррели­рованными значениями равно нулю, то и такой процесс называют процессом с ортогональными значениями.

3. Процессы с независимыми приращениями. Эти процессы характерна тем, что для любой совокупности моментов времени разности значений процесса взаимно независима.

4. Процессы с некоррелированными приращениями. Для процессов данного типа

при любых моментах времени

Если математическое ожидание процесса с некоррелироваными приращениями постоянно, то он называется процессом с ортогональными приращениями.

5. Марковские процессы. Марковские процессы называют процессами без вероятностного последствия, но аналитически записывается через условные плотности вероятности следующим образом:

(1.45)

Уравнение (1.45) означает, что условная плотность вероятности не зависит от предшествующего пути, пройденного случайный процессом, а однозначно определяется его значением в момент времени.

Другими словами, значение процесса в момент времени испытывает вероятностное последействие со стороны значения, принятого в момент, и совсем не зависит от его предшествующей истории.

Используя известные свойства плотности вероятности на основе (1.45), можно записать:

(1.46)

Таким образом, - мерная плотность вероятности марковского процесса определяется двумя функциями: одномерной плотностью вероятности и условной плотностью вероятности.

Марковские процессы является типичными представителями дискретных случайных последовательностей.

6. Гауссовские процессы. Случайный процесс называется гауссовским (или нормальным), если совокупность значений, ……. при любом n и при любых из области изменения аргумента t образует нормально распределенный вектор. Известно, чтоn – мерный гауссов закон распределения плот­ности вероятности полностью определяется математическими ожиданиями, дисперсиями и корреляционными моментами случайных величин. Ранее мы видели, что математические ожидания и дисперсии определяются одномерной плотностью вероятности, а корреляционные моменты случайных величин, ……. двумерным законом распределения случайного процесса. Следовательно, двумерный закон распределения вероятностей полностью определяет - мерный закон и является для гауссoвского процесса исчерпывающей характеристикой.

Отметим, что гауссовские (нормальные) случайные процессы имеют чрезвычайно большое значение как в теории, так и в приложениях.

7. Стационарные процессы. Различают два вида стационарных случайных процессов: процессы, стационарные в широком смысле, и процессы, стационарные в узком смысле.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов и:

здесь является аргументом корреляционной функции.

Случайный процесс называется стационарный в узком смысле, если его -мерный закон распределения при любом n зависит только от интервалов и не зависит от положения этих интервалов в области измене­ния аргумента t.

Дата добавления: 2014-10-17