В предшествующих дисциплинах рассматривались процессы в элементах и звеньях радиотехнических устройств и систем, описываемые точно известными, заданными функциями времени. Например, гармонические токи в различного рода цепях, модулированные и манипулированные сигналы и т.д. Однако при решении целого ряда радиотехнических задач возникает необходимость в изучении процессов другого типа.

Рассмотрим качественно несколько подобного рода процессов.

Из физики известно, что в резисторе происходит хаотическое тепловое движение свободных электронов, что эквивалентно наличию электрического тока. Величина и направление этого тока изменяются случайным образом в зависимости от времени, что вызывает на резисторе флюктуирующее напряжение, так называемый тепловой шум.

Отметим, что тепловой шум оказывает существенное отрицательное влияние на работу радиотехнических устройств, предназначенных для обработки слабых сигналов, и поэтому изучению его свойств, а также методов борьбы с влиянием теплового шума уделяется серьезное внимание.

Ясно, что вследствие хаотического изменения скоростей движения электронов по величине и направлению описать закон изменения во времени теплового шума детерминированной функцией времени, значения которой точно известны дня любого наперед заданного момента времени, невозможно.

КАТЕГОРИИ: Главная Случайная страница Познавательное Новые статьи Контакты Заказать работу Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение случайного процесса. Функции распределения случайного процесса 12345678910Следующая ⇒ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ, ИХ СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ X. СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ИПП – индивидуальный перевязочный пакет КУЗ – контроль усвоения знаний ЛПУ – лечебно – профилактические учреждения м/с – медицинская сестра ОСТ – отраслевой стандарт ОЦК – объём циркулирующей крови ПМП – первая медицинская помощь ПХО – первичная хирургическая обработка СМС – синтетические моющие средства ШМП – шина медицинская пневматическая

Другим классическим примером может служить так называемый дробовый эффект в цепях с электронной лампой, связанный с флуктуациями величины потока электронов относительно среднего значения вследствие случайности моментов прихода отдельных электронов к аноду.

Оба эти примера относятся к области физических явлений, возникающих в макроскопических системах, имеющих огромное число микроскопических степеней свободы, обусловленных атомизмом вещества и электричества.

Существует также множество процессов, связанных с наличием у системы большого числа макроскопических степеней свободы. К ним относятся колебания ошибки определения угловых координат самолета радиолокационной станцией вследствие порывов ветра и маневрирования цели, волнения поверхности моря, колебания напряжения в энергосети, обусловленные случайными моментами подключения и отключения потребителей и т.д.

Случайность процессов иного происхождения приходится изучать в некоторых задачах радиосвязи. Пусть имеется канал передачи информации, предназначенный для передачи вполне определенного перечня команд которым соответствуют радиосигналы. Наблюдатель на приемном конце заранее, до опыта, не знает, какой из сигналов будет передан по каналу.

3десь последовательность значений переменной от 1 до. Запись эквивалентна перечислению.

В лучшем случае наблюдателю известна вероятность того, что будет принят сигнал из совокупности,. Таким образом, для наблюдателя сигнал, заданный ансамблем его конкретных возможных значений вместе с их вероятностями, является случайным процессом. Случайность в данном примере обусловлена неопределенностью выбора конкретного сигнала из известной их совокупности. Здесь приведена упрощенная ситуация, не учитывающая неизбежных помех.

Для всех приведенных выше примеров характерно следующее обстоятельство.

Если представить себе множество идентичных экземпляров рассмотренных систем (резисторов, электронных ламп и т.д.), работающих в одинаковых условиях, то записи временных функций на их выходах будут, вообще говоря, различны. Каждая конкретная функция времени, получаемая в результате регистрации выхода того или иного экземпляра системы, называется реализацией случайного процесса.

Случайным процессом будем называть такую функцию времени, которая в результате опыта (регистрации) монет принять тот или иной заранее неизвестный вид. Отметим сходство и отличие определения случайного процесса от случайной величины, которая принимает в результате опыта то или иное значение. Видно, что понятие случайного процесса значительно богаче, чем понятие случайной величины; опыт в том и другом случае управляется вероятностными законами, однако его результаты имеют для случайного процесса гораздо более сложную структуру.

Совокупность или ансамбль реализаций случайного процесса для множества идентичных систем может иметь вид, изображенный на рис. 1.1.

Если зафиксировать некоторое значение,, где T - интервал времени, на котором рассматривается данный случайный процесс, то, очевидно, этому значению будет соответствовать множество значений

Рис. 1.1 – Совокупность случайных процессов

Реализации, и т.д. на рис. 1.1 представляют собой совокупность реализаций случайной величины называемой сечением случайного процесса. Для моментов времени получим сечения.

Таким образом, случайный процесс (случайная функция времени) может быть определен так же, как функция, значение ко­торой при любом возможном значении аргумента есть случайная величина.

Рассмотрим далее вопрос о том, каким образом можно описать свойства случайного процесса или задать его.

Возьмем вначале случайную величину. Ее можно полностью охарактеризовать одномерной плотностью вероятности. Величина определяет вероятность попадания случайного процесса. в момент в интервал. Наглядная графическая интерпретация этого обстоятельства представлена на рис. 1.2.

Рис. 1.2 – Интервал оценивания случайной величины.

Очевидно, что плотность вероятности дает далеко не полную информацию о случайном процессе. Действительно, эта одномерная плотность вероятности описывает свойства процесса только для одного момента времени, но ничего не говорит о статистической взаимосвязи различных сечений процесса. Невозможно представить себе два различных случайных процесса и, имеющие одинаковые плотности вероятности и,но различающихся в статистических взаимосвязях между сечениями и, и взятыми в два разных момента времени и.

Например, рассмотрим процессы и где A,, -неслучайные величины, а - случайная начальная фаза, представляющая собой случайную величину, распределенную равномерно в интервале

Ее плотность распределения

Ансамбли реализаций этих процессов изображены на рис. 1.3 и 1.4.

Как видно, одна реализация в каждом процессе отличается от другой лишь начальной фазой, а реализации процесса отличаются от реализаций процесса частотой.

Найдем одномерные распределения для процессов и, а также коэффициенты корреляции между сечениями и, и служащие мерой вероятностной взаимосвязи между ними. Для нахождения одномерной плотности вероятности рассматриваемых процессов проще всего воспользоваться аппаратом характеристических функций.

Одномерная характеристическая функция сечения определяется из выражения

(1.1)

здесь М – знак математического ожидания.

Случайная величина в (1.1) одна, начальная фаза.

В соответствии с правилом нахождения математического ожидания функции от случайной величины выражение (1.1) переписываем в виде:

(1.2)

Заменяем в (1.2) переменную интегрирования по формуле получим:

(1.3)

Выражение (1.3) является интегральным представлением функции Бесселя первого рода нулевого порядка

(1.4)

Как видно из (1.4), характеристическая функция, а сле­довательно, и одномерная плотность вероятности, сечения не зависит от времени и частоты, а определяется лишь амплитудой колебания. Аналогичный (1.4) результат получим и для сечения. Из (1.4) нетрудно получить одномер­ную плотность вероятности процессов и, явля­ющуюся обратным Фурье-преобразованием от характеристической функции:

(1.5)

(1.6)

Табличные интегралы (1.5) и (1.6) дают результат:

(1.7)

(1.8)

Таким образом, одномерные плотности распределения случайных процессов и одинаковы и не зависят от времени и частоты колебания.

Найдем теперь коэффициент корреляции сечений и:

(1.9)

Определим вначале математическое ожидание сечения:

Следовательно:

(1.10)

Коэффициент корреляции для сечений и процесса, очевидно выражается аналогичной формулой:

(1.11)

Из уравнения формул (1.10) и (1.11) видно, что вероят­ностная связь сечений и процесса и и процесса зависит от частот ко­лебаний и в общем случае различна.

В то же время мы имеем (см. (1.7), (1.8)) одинаковые одномерные плотности вероятности рассматриваемых процессов. Данный пример наглядно показывает недостаточность одномерных плотностей вероятности случайного процесса для описания его свойств.

Рассмотрим теперь совокупность двух сечений и случайного процесса и предположим, что задана их двумерная плотность вероятности

Очевидно, что двумерная плотность вероятности полностью описывает вероятностные связи между случайными величинами и, т.е. между значениями реализаций случайного процесса в эти моменты времени. Величина определяет вероятность того, что в момент случайный процесс примет значение, лежащее в интервале, а в момент значение в интервале.

Зная двумерную плотность вероятности можно определить двумерную функцию распределения

(1.12)

Двумерная плотность вероятности сечений процесса позволяет рассчитать все моментные характеристики этих сечений, в том числе и корреляцию:

.

Рис. 1.5 - Конечномерная плот­ность вероятности

Конечно, двумерная плотность вероятности более полно характеризует случайный процесс, однако далеко не является его исчерпывающей характеристикой. Так, двумерная плотность вероятности не дозволяет судить о вероятностных взаимосвязях между тремя сечениями процесса,.

Эти взаимосвязи могут быть различны при одинаковых двумерных распределениях.

Разумеется, зная двумерную плотность вероятности, можно найти одномерную:

(1.13)

Исчерпывающий способ задания случайной функции состоит в следующем: случайная функция зада­на, если ее конечномерная плот­ность вероятности известна для любого числа произвольно выбранных значений,...,.

Функции, выражающие многомерные плотности вероятности, должны удовлетворять некоторым условиям. Во-первых, они долж­ны быть симметричны относительно любых переста­новок всех пар аргументов, поскольку совмест­ное осуществление n неравенств не зависит от порядка их перечисления. Например:

(1.14)

Во-вторых, многомерные плотности вероятности должны удов­летворять условию согласованности между собой, выражающемуся в том, что любое - мерное распределение долж­но определяться из всякого n -верного с n>:

Это условие, ограничивающее класс функций, которые могут служить многомерными плотностями распределения, не тривиально. Дело заключается в том, что функции должны быть такими, которые при интегрировании по переменным автоматически приводят к независимости результата интег­рирования от параметров.

Иногда в практических задачах ограничивайся заданием n - мерной (- конечно) плотности распределения, что, по существу, означает отождествление случайной функции с совокупностью п случайных величин, При таком упрощенном задании случайной функции часть ее свойств оказывается, естественно, потерянной.

Вероятностные свойства случайных процессов могут описываться также характеристическими функциями:

связанными преобразованиями Фурье с соответствующими им одномерной, двумерной и - мерной плотностями вероятности.

Последовательность характеристических функций;; является своеобразной лестницей, поднимаясь по которой, мы получаем все более полное описание случайного процесса.

Весьма интересно рассмотреть вопрос о том, какой вид приобретает характеристическая функция при неограниченном увеличении числа - моментов времени и заполнении ими непрерывно всей действительной оси.

Пусть является следующей функцией моментов времени:

где - некоторая непрерывная функция времени.

При увеличении до бесконечности сумму следует заменить в выражении для интегралом вида.

Здесь уместно поставить вопрос о том, каков смысл понятия сходимости сумм случайных величин к пределу. Поскольку случайные величины задаются недетерминировано, а распределениями вероятности, очевидно, понятие сходимости к пределу не может быть аналогичным используемому в анализе.

Для последовательности случайных величин (n=1,2……) возможно только вероятностное определение сходимости к пределу, связанное с критериями сходимости.

Важнейшим случаем вероятностной сходимости является сходимость в среднеквадратическом, выражающаяся в данном случае выражением:

(1.15)

Не останавливаясь на условиях, накладываемых на случайный процесс выражением (1.15), будем полагать их выполненными.

Тогда:

(1.16)

Функция называется характеристи­ческим функционалом случайного процесса и является его исчерпывающей характеристикой.

Многомерные плотности вероятности случайных процессов могут служить наряду с характеристическими функциями и функ­ционалами характеристиками случайных процессов. Однако для решения практических задач их применение оказывается, как правило, чрезмерно сложным. Поэтому в приложениях исполь­зуют более простые, но зато и менее содержательные характе­ристики случайных процессов. Некоторые их них будут рассмотре­ны в следующем параграфе.

Дата добавления: 2014-10-17; Просмотров: 1189; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!