Корреляционные и ковариационные функции случайного процесса

Рассмотрим теперь два сечения некоторой случайной функции. B моменты времени и (рис. 1.8).

Очевидно, что при близких значениях и сте­пень вероятностной связи между сечениями высока: если вели­чина приняла некоторое значение, то и c большой вероятностью примет близкое к нему значение. С ро­стом интервала времени между сечениями вероятностная связь между ними убывает.

Как и в случае случайных величин, степень вероятностной взаимосвязи между сечениями и можно в значительной степени охарактеризовать их корреляционным моментом, являющимся функцией двух аргументов и. Эта функция называется кор­реляционной функцией, или автокорреляцион­ной функцией. Согласно определению корреляционного момента:

(1.20)

Итак, корреляционной (автокорреляционной) функцией слу­чайного процесса называется функция, которая при каждой паре значений и равна корреляцион­ному моменту соответствующих сечений случайного процесса.

Следует помнить, что корреляционная функция не яв­ляется полной характеристикой вероятностной взаимосвязи сечений и как и корреля­ционный момент двух случайных величин.

Вернемся к примерам случайных процессов, изображенных на рис. 1.7. Можно утверждать, что при одинаковых матема­тических ожиданиях и дисперсиях корреляционные функции этих двух процессов будут различны: для процесса корре­ляционная функция будет медленно убывать с ростом интервала, а для - быстро.

Уменьшение значений корреляционной функции с ростом интервала объясняется тем, что, чем больше расстояние между сечениями процесса по оси, тем больше оказывается элементарных слагаемых в выражении 1.20, имеющих разные знаки.

Доля этих элементарных слагаемых растет при фиксированном интервале с увеличением скорости изменения процесса.

Если положить, то из 1.20 получим:

(1.21)

т.е. при корреляционная функция обращается в дисперсию. Таким образом, понятие корреляционной функции случайного процесса охватывает и понятие его дисперсии.

На практике часто пользуются нормированной корреляционной функцией, определяемой соотношением:

(1.22)

Действительно, при значения и совпадают и двумерная плотность распределения вероятности преобразуется к виду:

Полагая в 1.20 и интегрирую по одному из аргументов или получим 1.21, предоставляющим собой коэффициент корреляции сечений и.

Для характеристики вероятностной взаимосвязи двух случайных процессов может служить взаимная корреляционная функция, являющаяся корреляционным моментом значений этих процессов при произвольных значениях аргументов.

(1.23)

Нормированная взаимная корреляционная функция двух случайных процессов и определяется соотношением:

(1.25)

Случайные процессы называются коррелирован­ными, если их взаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю, в противном случае случайные процессы называются некоррелированными.

Наряду с корреляционными функциями в теории случайных процессов рассматривают ковариационные функции

(1.25)

И взаимные ковариационные функции

(1.26)

Очевидна связь корреляционных и ковариационных функций случайных процессов:

(1.27)

(1.28)

(1.29)

(1.30)

Укажем основные свойства корреляционных функций:

1. Корреляционная функция вещественного случайного процесса симметрична относительно своих аргументов

(1.31)

поскольку корреляционный момент сечений и не зависит от порядка, в котором эти сечения рассматриваются. Поверхность, определяемая корреляционной функцией, симметрич­на относительно вертикальной плоскости, проходящей через бис­сектрису угла 0 (рис. 1.9).

Рис. 1.9 – Поверхность, определяемая корреляционной функцией

2. Для корреляционной функции справедливо неравенство

(1.32)

Из свойства (1.32) и определения нормирования корреляционной функции (1.22) следует, что

. (1.33)

Аналогичными свойствами обладают и взаимные корреляцион­ные функции. При этом свойство 1 записывается так:

(1.34)

Как видно из определений корреляционных функций, они отражают степень линейной связи двух сечений случайных процес­сов. Можно показать, например, что если

,

где - нормальный случайный процесс, то, несмотря на наличие функциональной связи между и, их взаимная корреляционная функция равна нулю.

Те мне менее с помощью корреляционных функций, как будет показано, может быть решен широкий круг задач радиотехники.

Дата добавления: 2014-10-17