О временных характеристиках детерминированных и случайных сигналов

Корреляционный анализ детерминированных процессов

Ранее была введена в рассмотрение операция усреднения по времени (1.51) - (1.53). Запишем ее в несколько иной симметричной форме, рассмотрев более подробно механизм опера­ции среднего по времени.

Предположим, что имеется временная функция неогра­ниченной длительности (рис. 1.18).

Здесь под можно понимать как детерминированную функцию времени, так и конкретную реализацию некоторого слу­чайного процесса.

Рассмотрим эту функцию на ограниченном интервале времени. Среднее арифметическое значение данной функции в точках определяется известным выражением

. (1.56)

Рис. 1.18 -Временная функция неогра­ниченной длительности

Умножая числитель и знаменатель (1.56) на, получим:

при

(1.57)

Очевидно, что (1.57) представляет собой среднее значение или постоянную составляющую процесса.

Среднее значение квадрата функции:

(1.58)

численно равно средней мощности процесса, представляющего напряжение, падающее на резисторе в 1 Ом, или ток, протекаю­щий по нему.

Среднее значение квадрата отклонения процесса от сред­него

(1.59)

равно средней мощности переменной составляющей процесса.

В том случае, когда рассматривается процесс конечной длительности (а на практике имеют место именно такие процессы, осреднение по времени в (1.57) - (1.58) должно проводиться, естественно, на этом конечном интервале.

Наряду со средними по времени, определяемыми вышеприведенными формулами, при анализе детерминирован­ных сигналов большое значение имеют так называемая вре­менная ковариационная функция, определяемая соотношением:

(1.60)

И временная корреляционная функция

(1.61)

Между которыми существует очевидная связь

(1.62)

Временная ковариационная функция позволяет судить о скорости изменения функции, так как чем быстрее изменяется со временем, тем при меньших сдви­гах функция приближается к постоянному значению.

На рис. 1.5.2 и 1.5.3 изображены ковариационные функ­ции процессов с различными скоростями изменения.

Для решения целого ряда радиотехнических задач с прие­мом сигналов часто используют понятие временной взаимной ковариационной функции двух процессов и определяемой соотношением

(1.63)

Временная взаимная ковариационная функция характеризует степень взаимной связи процессов и чем большие значения принимает максимум, тем теснее связаны между собой данные процессы.

Временная взаимная ковариационная функция может прини­мать как положительные, так и отрицательные значения, что соответствует положительной или отрицательной ковариации.

Положительная ковариация означает, что при данном в интеграле (1.61) преобладают положительные элементы, т.е. и имеют преимущественно одинаковые знаки. Наоборот, при отрицательной ковариации и имеют в основном разные знаки.

Случай положительной ковариации иллюстрируется рис. 1.21, а отрицательной - 1.22.

Положительная ковариация между функциями и при данном таким образом, означает, что с ростом функция имеет тенденцию расти, а с умень­шением - убывать. Наоборот, при отрицательной ко­вариации между двумя функциями с ростом (уменьшением) одной из них другая уменьшается (растет).

Рассмотрим теперь случай, когда и резко отличаются друг от друга по характеру своего изменения во времени.

Можно считать, что отрицательные и положительные слагае­мые будут встречаться при этом одинаково часто и интеграл (1.61) при данном окажется близким к нулю. Этот случай соответствует корреляции между данными функциями времени.

В том случае, когда рассматриваемый процесс ограничен по длительности, пользуются понятием конечной ко­вариационной функции.

Основные свойства конечной временной ковариационной функции можно сформулировать следующим образом.

1. Ковариационная функция принимает мини­мальное значение при = 0. Функцию можно трактовать как энергию взаимодействия колебаний и. Очевидно, что при = 0 наступает максимум этой энергии, поскольку колебание в этом случае взаимодействует "само с собой".

2. Функция является четной:

поскольку безразлично, в какую сторону - вправо или влево сдвигать относительно своей копии сигнал.

3. Ковариационная функция является убывающей (необяза­тельно монотонно) функцией для сигналов конечной длительности и имеющих конечную энергии (т.е. для реальных сигналов).

4. Сигналы, ограниченные по длительности временным интервалом [0,Т], имеют ковариационную функцию, тождест­венно равную нулю вне отрезка оси 2Т.

Такими же свойствами обладают и корреляционные функции.

Для нормированной корреляционной функции ста­ционарного случайного процесса при любом справедливо соотношение

Кроме того,

Функция может принимать нулевые значения и при конечном. Это не означает независимостидвух сечений процесса. Однако для стационарного процесса всегда можно указать такое значение, называемое вре­менем корреляции, что при величины и можно считать некорре­лированными, поскольку абсолютное значение нормированной корреляционной функции остается меньше заданной величины, например,

Используя и другое определение времени корреляции:

Далее рассмотрим понятие когерентности двух колебаний, тесно связанное с их взаимной ковариацией (корреляцией).

Предположим, что имеются два колебания. Найдем энергию их суммы:

(1.64)

Первые два интеграла в правой части соответствуют энергии и сигналов и а последний определяет энергию взаимодействия между ними.

Из (1.64) вытекает, что энергия, выделяемая суммой двух колебаний, может быть больше суммы энергий отдельных колебаний (при положительном знаке последнего слагаемого), меньше ее (при отрицательном знаке последнего слагаемого) или равна ей (при равенстве нулю последнего слагаемого).

Колебания и, связанные между собой некоторой функциональной зависимостью, называются когерентными. Некогерентными являются колебания, значения которых не связаны между собой. Энергия взаимодействия некогерентных колебаний равна нулю. Такие сигналы являются ортогональными, т.е.

Упростим выражение (1.64) можно записать в следующем виде:

(1.65)

Таким образом, рассмотренная ранее конечная временная взаимная ковариационная функция сигналов при может служить мерой когерентности (связи) двух сигналов.

Гармонические колебания называют когерентными, если они имеют одинаковую частоту, их амплитуды и начальные фазы медленно меняются со временем, но разность начальных фаз со­храняется постоянной.

Дата добавления: 2014-10-17