Математическое ожидание и корреляционные функции случайного процесса

Математическим ожиданием случайного процесса называется функция, значение которой при каждом значении аргумента t равно мате­матическому ожиданию значения при данном t:

(1.17)

Математическое выражение случайного процесса связано с его одномерной плотностью и определяется соотношением:

(1.18)

Математическое ожидание случайного процесса есть некоторая средняя функция, вокруг которой группируются и относительно которой колеблются все реализации случайного процесса.

На рисунке 1.6 изображены несколько реализаций некоторого гипотетического случайного процесса и его математическое ожидание.

Рис. 1.6 – Реализации гипотетического случайного процесса

Математическое ожидание случайного процесса (или среднее значение) не характеризует ни степень вероятностной взаимосвязи отдельных сечений процесса, ни скорость флуктуаций, поскольку оно определяется лишь одномерной плотностью вероятности:

.

Тем не менее использование этой характеристики, как будет показано ниже, дает возможность решить определенный круг задач анализа линейных радиотехнических цепей, нахо­дящихся под воздействием случайных процессов.

Мерой рассеивания случайной функции относительно ее сред­него значения (математического ожидания) может служить дисперсия случайной функции.

Дисперсией случайной функции называется функ­ция, значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего значения:

(1.19)

Корень квадратный из дисперсии определяет среднеквадратическое отклонение случайной функции:

.

Дисперсия случайной функции, так же как и ее математическое ожидание, не характеризует ни скорости флуктуации ни степени связанности сечений и.

Это обстоятельство иллюстрируется рис. 1.7. На этом рисунке изображены ансамбли реализации случайных процессов (1.7 а) и (1.7 б) имеющих одинаковые математические ожидания и дисперсии, однако характер этих функций резко различен. Для случайной функции ха­рактерно более плавное изменение реализаций во времени, чем для, Например, если в точке t₁ случайный процесс принял значение большее, чем математическое ожидание, то весьма вероятно, что в точке t₂ значение будет также больше среднего, так как реализации медленно изменяются со временем.

Относительно же процесса этого утверждать нельзя, т.е. зависимость между сечениями данного процесса быстро затухает по мере увеличения интервала. Таким образом, математическое ожидание и дисперсия случайного процесса, бу­дучи его характеристиками, не улавливают различий в структуре процессов и. Подчеркнем еще раз, что это объясняется использованием для определения и лишь одномерной плотности вероятности.

Дата добавления: 2014-10-17