Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Уважаемые мамы и папы! Бабушки и дедушки!




Кроха

.

 

   
x y
   
1.215 0.106044
1.220 0.106491
1.225 0.106935
1.230 0.107377
1.235 0.107818
1.240 0.108257
1.245 0.108696
1.250 0.109134
1.255 0.109571
1.260 0.110008
   

 

Требуется определить значения функции y(x) при следующих значениях аргумента

x1 = 1.2173; x2 = 1.253; x3 = 1.210; x4 = 1.270.

Составим таблицу конечных разностей.

 

i xi yi Dyi D2yi D3yi
           
  1.215 0.106044 0.000447 -0.000003 0,000001
  1.220 0.106491 0.000444 -0.000002 0,000001
  1.225 0.106935 0.000442 -0.000001 -0,000001
  1.230 0.107377 0.000441 -0.000002 0,000002
  1.235 0.107818 0.000439   -0,000001
  1.240 0.108257 0.000439 -0.000001  
  1.245 0.108696 0.000438 -0.000001 0,000001
  1.250 0.109134 0.000437    
  1.255 0.109571 0.000437 -  
  1.260 0.110008 - -  
           

 

При вычислении разностей ограничиваемся разностями второго порядка, так как они практически постоянны. При х = 1.2173 и х = 1.210 пользуемся формулой Ньютона для интерполирования вперед:

 

где q = (x-x0)/h.

Если x = 1.2173, то q = (1.2173-1.215)/0.005= 0.46;

 

P1(1.2173)=0.106044+0.46·0.000447=0.106044+0.0002056=0.106250

 

Если x = 1.210, то q = (1.210-1.215)/0.005= -1;

 

P 1(1.210)= 0.106044+(-1)·0.000447=0.105597

P 2(1.210)= P 1(1.210)+ R 1=0.105600

 

При x = 1.253 и x = 1.270 пользуемся второй формулой Ньютона для интерполирования назад:

 

где q = (x-xn)/h.

Если x = 1.253, то q = (1.253 - 1.250)/0.005 = 0.6;

 

P1 (1.253)=0.109134+0.6·0.000438=0.109134+0.000263=0.1093968

Если x = 1.270, то q = (1.270 - 1.260)/0.005 = 2;

 

P1 (1.270)=0.110008+2·0.000437=0.110008+0.000874=0.110882

Ответ: f (1.2173)» 0.106250; f (1.253) ·» 0.109397; f (1.210)» 0.105597;

f (1.270)» 0.110882.

 

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа

 

Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой интерполяционной формулой Лагранжа.

Пусть на отрезке даны n+1 различных значений аргумента: , и известны для функции . Нам нужно построить многочлен .

Решим сначала частную задачу, построив полином такой, что .

Т.к. искомый полином обращается в нуль в n точках , то он имеет вид:

, (*)

где - постоянный коэффициент. Полагая в формуле и учитывая, что , получим:

.

Отсюда .

Вернемся к выражению (*):

.

Тогда полином Лагранжа имеет следующий вид: .

Докажем единственность полинома Лагранжа.

Предположим противное. Пусть - полином, отличный от , степени не выше n и такой, что . Тогда полином , степень которого, очевидно, не выше n, обращается в нуль в n+1 точках , т.е. . Следовательно, .

При равноотстоящих многочлен Лагранжа совпадает с многочленом Ньютона такой же степени.

 

Вычисление лагранжевых коэффициентов:

 

- (1) Можно записать лагранжевы коэффициенты и более компактно: , (2)

где .

Формула Лагранжа при этом имеет вид .

Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть использована приведенная ниже схема. Сначала располагаем в таблицу разности следующим образом:

Обозначим произведение элементов первой строки через D0, второй – D1 и т.д. Произведение же элементов главной диагонали, очевидно, будет . Отсюда следует, что

.Следовательно,

.

Пример выполнения в Маткаде

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в неравно- отстоящих узлах таблицы.

 

Отметим, что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки (a,b – постоянны). Действительно, положив в формуле (1):

, , ,

после сокращения числителя и знаменателя на a, получим:

или

,

где , что и требовалось доказать.

В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут быть приведены к более простому виду.

В самом деле, полагая , будем иметь: . Отсюда

и

.

Тогда ,

где . Отсюда можно записать:

(2)

где

. Пример выполнения в Маткаде

Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы

 

 

Остаточный член формулы Лагранжа

Остаточный член равен: . Для него справедлива следующая оценка:

,

где на отрезке .

 

Схема Эйткина

 

Если требуется найти не общее выражение , а лишь его значения при конкретных x и при этом, значения функции даны в достаточно большом количестве узлов, то удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткина. Согласно этой схеме последовательно вычисляются многочлены:

.

Интерполяционный многочлен степени «n», принимающий в точках xi значения , запишется следующим образом:

.

Вычисления по схеме Эйткена удобно расположить в такой таблице:

 

       
     
   

 

Вычисления по схеме Эйткина обычно ведут до тех пор, пока последовательные многочленыи не совпадут в пределах заданной точности.

Пример Функция задана таблицей

 

1.0 1.000
1.1 1.032
1.3 1.091
1.5 1.145
1.6 1.170

 

Применяя схему Эйткена, найти

 

1.0 1.000 -0.15    
1.1 1.032 -0.05 1.048  
1.3 1.091 0.15 1.047 1.048
1.5 1.145 0.35 1.050  
1.6 1.170 0.45 1.057  

 

Значения и совпадают до третьего знака. На этом вычисления можно прекратить и с точностью до 0.001 записать =1.048

 

 

Пособие по воспитанию, обучению и развитию детей до трех лет

Допущено Министерством образования

Российской Федерации

в качестве

учебно-методического пособия

для дошкольных

образовательных учреждений

и семейного воспитания

4-е издание, переработанное

 

 

Москва

«Просвещение»

 

 

УДК 373

ББК 74,10

К83

 

Авторы: Г. Г. Григорьева, канд. пед. наук, доц. (НИРО); Н. П. Кочетова, ст. науч. сотрудник <НИРО); Д. В. Сергеева, канд. пед, наук, доц. (НИРО); Г. В. Груба, канд. пед. наук, доц. (НИРО); Е, В. Зворыгина, канд. пед. наук» доц. <МГТГУ); Э. П. Костина, канд. пед. наук, доц. (НИРО); О. К. Магомедова, ст. науч. сотрудник (НИРО); Е. Ф. Терентьева, канд. пед. наук, доц. (НГПУ); О. Н. Сте­панова, ст. воспитатель (ДОУ № 345, Нижний Новгород)

 

Научный редактор: Г. Г. Григорьева

 

Кроха: Пособие по воспитанию, обучению и развитию детей до трех лет/Г. Г. Григорьева, Н. П. Кочетова, Д. В. Сер­геева и др,—4-е изд,, перераб.— М.: Просвещение, 2001.— 253 с—ISBN 5-09-010873-0.

Книга, адресованная родителям и педагогам, представляет собой научно обоснованную программу и методику последовательного воспитания и разви­тия малыша. В доступной и обстоятельной форме в ней рассказывается о том, что, как и когда нужно делать, чтобы ребенок развивался полноценно, рос здоровым, умным, самостоятельным, общительным и добрым.

 

УДК 373

ББК 74.10

 

 

© Издательство «Просвещение», 2000
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2000

ISBN 5-09-010873-0 Все права защищены


 

Добрые детки — дому венец.

Плохие детки — дому конец.

Народная мудрость

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-17; Просмотров: 335; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.072 сек.