КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Уважаемые мамы и папы! Бабушки и дедушки!
Кроха .
Требуется определить значения функции y(x) при следующих значениях аргумента x1 = 1.2173; x2 = 1.253; x3 = 1.210; x4 = 1.270. Составим таблицу конечных разностей.
При вычислении разностей ограничиваемся разностями второго порядка, так как они практически постоянны. При х = 1.2173 и х = 1.210 пользуемся формулой Ньютона для интерполирования вперед:
где q = (x-x0)/h. Если x = 1.2173, то q = (1.2173-1.215)/0.005= 0.46;
P1(1.2173)=0.106044+0.46·0.000447=0.106044+0.0002056=0.106250
Если x = 1.210, то q = (1.210-1.215)/0.005= -1;
P 1(1.210)= 0.106044+(-1)·0.000447=0.105597 P 2(1.210)= P 1(1.210)+ R 1=0.105600
При x = 1.253 и x = 1.270 пользуемся второй формулой Ньютона для интерполирования назад:
где q = (x-xn)/h. Если x = 1.253, то q = (1.253 - 1.250)/0.005 = 0.6;
P1 (1.253)=0.109134+0.6·0.000438=0.109134+0.000263=0.1093968 Если x = 1.270, то q = (1.270 - 1.260)/0.005 = 2;
P1 (1.270)=0.110008+2·0.000437=0.110008+0.000874=0.110882 Ответ: f (1.2173)» 0.106250; f (1.253) ·» 0.109397; f (1.210)» 0.105597; f (1.270)» 0.110882.
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой интерполяционной формулой Лагранжа. Пусть на отрезке даны n+1 различных значений аргумента: , и известны для функции . Нам нужно построить многочлен .
Решим сначала частную задачу, построив полином такой, что . Т.к. искомый полином обращается в нуль в n точках , то он имеет вид: , (*) где - постоянный коэффициент. Полагая в формуле и учитывая, что , получим: . Отсюда . Вернемся к выражению (*): . Тогда полином Лагранжа имеет следующий вид: . Докажем единственность полинома Лагранжа. Предположим противное. Пусть - полином, отличный от , степени не выше n и такой, что . Тогда полином , степень которого, очевидно, не выше n, обращается в нуль в n+1 точках , т.е. . Следовательно, . При равноотстоящих многочлен Лагранжа совпадает с многочленом Ньютона такой же степени.
Вычисление лагранжевых коэффициентов:
- (1) Можно записать лагранжевы коэффициенты и более компактно: , (2) где . Формула Лагранжа при этом имеет вид . Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть использована приведенная ниже схема. Сначала располагаем в таблицу разности следующим образом: Обозначим произведение элементов первой строки через D0, второй – D1 и т.д. Произведение же элементов главной диагонали, очевидно, будет . Отсюда следует, что .Следовательно, . Пример выполнения в Маткаде Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в неравно- отстоящих узлах таблицы.
Отметим, что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки (a,b – постоянны). Действительно, положив в формуле (1): , , , после сокращения числителя и знаменателя на a, получим: или , где , что и требовалось доказать. В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут быть приведены к более простому виду. В самом деле, полагая , будем иметь: . Отсюда
и . Тогда , где . Отсюда можно записать: (2) где . Пример выполнения в Маткаде Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы
Остаточный член формулы Лагранжа Остаточный член равен: . Для него справедлива следующая оценка: , где на отрезке .
Схема Эйткина
Если требуется найти не общее выражение , а лишь его значения при конкретных x и при этом, значения функции даны в достаточно большом количестве узлов, то удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткина. Согласно этой схеме последовательно вычисляются многочлены: . Интерполяционный многочлен степени «n», принимающий в точках xi значения , запишется следующим образом: . Вычисления по схеме Эйткена удобно расположить в такой таблице:
Вычисления по схеме Эйткина обычно ведут до тех пор, пока последовательные многочленыи не совпадут в пределах заданной точности. Пример Функция задана таблицей
Применяя схему Эйткена, найти
Значения и совпадают до третьего знака. На этом вычисления можно прекратить и с точностью до 0.001 записать =1.048
Пособие по воспитанию, обучению и развитию детей до трех лет Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебно-методического пособия для дошкольных образовательных учреждений и семейного воспитания 4-е издание, переработанное
Москва «Просвещение»
УДК 373 ББК 74,10 К83
Авторы: Г. Г. Григорьева, канд. пед. наук, доц. (НИРО); Н. П. Кочетова, ст. науч. сотрудник <НИРО); Д. В. Сергеева, канд. пед, наук, доц. (НИРО); Г. В. Груба, канд. пед. наук, доц. (НИРО); Е, В. Зворыгина, канд. пед. наук» доц. <МГТГУ); Э. П. Костина, канд. пед. наук, доц. (НИРО); О. К. Магомедова, ст. науч. сотрудник (НИРО); Е. Ф. Терентьева, канд. пед. наук, доц. (НГПУ); О. Н. Степанова, ст. воспитатель (ДОУ № 345, Нижний Новгород)
Научный редактор: Г. Г. Григорьева
Кроха: Пособие по воспитанию, обучению и развитию детей до трех лет/Г. Г. Григорьева, Н. П. Кочетова, Д. В. Сергеева и др,—4-е изд,, перераб.— М.: Просвещение, 2001.— 253 с—ISBN 5-09-010873-0. Книга, адресованная родителям и педагогам, представляет собой научно обоснованную программу и методику последовательного воспитания и развития малыша. В доступной и обстоятельной форме в ней рассказывается о том, что, как и когда нужно делать, чтобы ребенок развивался полноценно, рос здоровым, умным, самостоятельным, общительным и добрым.
УДК 373 ББК 74.10
© Издательство «Просвещение», 2000 ISBN 5-09-010873-0 Все права защищены
Добрые детки — дому венец. Плохие детки — дому конец. Народная мудрость
Дата добавления: 2014-10-17; Просмотров: 335; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |