Определение криволинейного интеграла II рода

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода (Как вычисляется криволинейный интеграл I рода)

Если записать параметрические уравнения линии (l): ,

в которых функции , , являются дифференцируемыми, то можно показать, что дифференциал длины дуги dl пересчитывается по формуле, аналогичной формуле для дифференциала длины дуги плоской линии (см. тему «Интегральное исчисление функции одной переменной»):

,

а криволинейный интеграл I рода сводится к определенному интегралу по переменной .

В результате получается следующая формула для вычисления криволинейного интеграла I рода:

(2)

Формула для вычисления криволинейного интеграла I родаПри этом в качестве параметра t на линии (l) можно брать любую независимую переменную.

В частности, если дан двумерный криволинейный интеграл и линия интегрирования l является графиком функции , , то в качестве параметра можно взять независимую переменную x: тогда и формула сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралубудет иметь вид:

.

(3)

Если плоская линия l задана уравнением , в полярной системе координат, то в качестве параметра нужно брать полярный угол и использовать связь между полярными и декартовыми координатами: , . Тогда

формула сведения крволинейного интеграла I рода к определенному интегралу в полярных координатах:

(4)

При составлении формул (2)-(4) нужно учитывать, что значение криволинейного интеграла I рода не зависит от направления на линии интегрирования l, поэтому всегда в следствие этого пределы интегрирования по независимой переменной «от до » всегда такие, что <.

Пример 1 (вычисление криволинейного интеграла I рода)

Вычислить , где (l)— это отрезок прямой, соединяющий точки А (1; 2; 3) и

В (-4; 8; 4).

Решение

Составляем параметрические уравнения прямой в пространстве по двум её известным точкам:

Находим пределы изменения для t на отрезке AB: t_A =0, t_B =1

Сводим искомый криволинейный интеграл к определенному интегралу по , используя формулу (2), в которой :

.

2. Вычислить , где l – это часть кардиоиды , .

Решение

; ; ,

так как при ;

.

Криволинейный интеграл I рода относится к «массовым» интегралам, так как имеет механическую трактовку «масса линии», аналогичную трактовке двойного интеграла как «массы плоской фигуры» и тройного интеграла как «массы трёхмерного тела». Поэтому этот криволинейный интеграл имеет механические приложения, аналогичные механическим приложениям двойного и тройного интеграла: вычисление массы, статических моментов, моментов инерции и координат центра масс линии l.

Из геометрических приложений криволинейного интеграла I рода наиболее важным является вычисление длины дуги (AB). Формула для вычисления длины дуги линии с помощью криволинейного интеграла I рода имеет очень простой вид:

(5)

Примеры 2 (приложение криволинейного интеграла I рода)

1. Вычислить массу участка линии между точками с абсциссами и , если линейная плотность материала в каждой точке линии равна квадрату абсциссы точки.

Решение

, то есть имеем двумерный вариант криволинейного интеграла I рода. Так какпо условию задачи, то.

Для вычисления составленного криволинейного интеграла по формуле (3) вычислим:

Тогда

Ответ: (ед. массы).

2. Вычислим длину дуги винтовой линии , , , .

Решение

Винтовая линия получается, если прямоугольный треугольник с катетами длиной и «навивать» на цилиндр с радиусом основания :

Параметрические уравнения дуги (AB) винтовой линии:

, , , , где t – это полярный угол точки .

Длина дуги (AB): .

.

Ответ: (единиц длины).

§6.Криволинейные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление

Содержание

6.1. Определение криволинейного интеграла II рода. 49

6.2. Физическая трактовка криволинейного интеграла II рода. 50

6.3. Основные свойства криволинейного интеграла II рода. 51

6.4. Вычисление криволинейного интеграла II рода в двумерном случае. 52

Общий вид криволинейного интеграла II рода в трехмерном случае:

Общий вид криволинейного интеграла II рода в трехмерном случае (1) где (AB) — это дуга пространственной кривой от точки A до точки B с указанным на ней направлением.

Общий вид криволинейного интеграла II рода в двумерном случае по дуге AB и по замкнутому контуру l:

при этом по умолчанию направление на фиксируется против часовой стрелки

(2)

Сумму слагаемых в подынтегральном выражении в криволинейном интеграле II рода принято записывать без скобок.

Определение криволинейного интеграла ii рода в двумерном случае

1. Дугу кривой (AB) разбиваем на n элементарных частей точками A = M0, M1, …, Mn = B; обозначим проекции i -той элементарной части на координатной оси: , ;

рангом разбиения назовем число , где - длина хорды, (Рис. 14).

2. На каждой элементарной части (M_i-1M_i) выбираем произвольную точку и вычисляем в ней значения двух функций: и .

3. Составляем интегральную сумму

(3)
и вычисляем ее предел при .

4. Если предел интегральной суммы существует, является конечным и не зависит ни от способа разбиения дуги (AB) на элементарные части, ни от выбора точки на каждой элементарной части, то он называется криволинейным интегралом II рода по дуге (AB) от выражения и обозначается

(4)

Криволинейный интеграл II рода по дуге (AB)

Определение в трёхмерном случае составляется аналогично

Дата добавления: 2014-10-15