Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вывод формулы Грина




Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода

Содержание

7.1. Вывод формулы Грина. 58

7.2. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода 62

 

 

 

Формула Грина Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом II рода по границе этой области и имеет следующий вид:

Формула Грина (1)

Направление на l берется против часовой стрелки, так что область D остается слева при обходе ее по контуру l; так ориентированный замкнутый контур обозначается l + , (Рис. 15).  

Доказательство

w Пусть область D является правильной в направлении обеих координатных осей, а функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в замкнутой области D.

Запишем область D неравенствами и рассмотрим двойные интегралы по D от каждого слагаемого в левой части формулы Грина (Рис. 16).

Для двойного интеграла от второго слагаемого область D запишем неравенствами так, что в постоянных пределах будет переменная x, и сведем двойной интеграл к повторному:

воспользуемся формулой (7') предыдущего параграфа и перейдем от определенных интегралов по x к криволинейным интегралам по линиям l 1 и l 2, далее учтем направление на этих линиях

.

В этих преобразованиях учтены следующие свойства криволинейного интеграла II рода: изменение его знака при изменении направления на линии интегрирования и его аддитивность по линии интегрирования.

Таким образом, доказано, что

(2)
Теперь в формуле (1) рассмотрим двойной интеграл от первого слагаемого и для сведения его к повторному интегралу запишем область D неравенствами так, что в постоянных пределах изменяется переменная y (Рис. 16):

воспользуемся формулой (7'') предыдущего параграфа и перейдем от определенных интегралов по переменной y к криволинейным интегралам по линиям l 4 и l 3 и далее учтем направления на этих линиях

.

Здесь также применялись упомянутые выше свойства криволинейного интеграла II рода.

Таким образом доказано, что

(3)
Сложением равенств (2) и (3) получается следующая формула:

Отсюда по свойствам линейности относительно подинтегральных выражений криволинейных и двойных интегралов получаем равенство (1):

Если область D не является правильной в направлениях осей OX и OY, то ее можно разбить на правильные части.

Например, рассмотрим область D, неправильную в направлении оси Ox, и разделим её на две правильные части линией l *: D = D 1È D 2,

 

граница D 1: ; граница D 2: , граница , (Рис. 17) Затем используем свойство аддитивности двойного и криволинейного интегралов и уже указанную формулу Грина для правильной области:

так как криволинейный интеграл по линии раздела (L *) берется дважды в противоположных направлениях, следовательно, он равен 0. Таким образом, формула Грина справедлива для любой замкнутой области D. v

Формула Грина имеет теоретическое значение и будет использована, например, в следующем параграфе для вывода необходимых и достаточных условий независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования. На практике формулу Грина можно использовать для сведения криволинейных интегралов II рода по замкнутому контуру к двойным интергалам по области, ограниченной этим контуром.

Обобщением формулы Грина на трехмерный случай является формула Стокса, которая будет рассморена далее в этой теме.

Примеры1 (использование формулы Грина)

1. Вычислить криволинейный интеграл II рода по замкнутому контуру

, где l – это окружность , проходимая против часовой стрелки.

 

Решение

Данный интеграл по замкнутому контуру легко сводится к двойному интегралу по области, ограниченной этим контуром: , ,

вычисляем двойной интеграл по кругу в полярных координатах

.

2. С помощью формулы Грина вычислить разность интегралов I1I2, если , ,

где - отрезок прямой, соединяющей точки и ,

- дуга параболы , соединяющей те же точки.

Решение

Сделаем чертеж к задаче и заметим, что интегралы I1 и I2 имеют одинаковые подинтегральные выражения, что позволяет разность этих интегралов свести к интегралу по замкнутому контуру:

Теперь применяем формулу Грина криволинейному интегралу по замкнутому контуру, проходившему в положительном направлении, и далее вычисляем получившийся двойной интеграл:

Ответ: .




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 6401; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.