Ряды Тейлора и Маклорена

Разложение функции в степенной ряд. Пусть функция является суммой степенного ряда по степеням с интервалом сходимости

(1)

Вычислим коэффициенты степенного ряда, записанные в правой части ряда (1)

По свойству степенных рядов известно, что они допускают почленное дифференцирование любое число раз в интервале сходимости

Дифференцируя (1) получим:

полагаем:

получим:

Подставляя в формулу (1), получим:

(2)

О. Степенной ряд - ряд Тейлора для функции если коэффициенты его вычисляются по формуле:

Записывается ряд Тейлора:

Замечание: знак «=» можно записать, если ряд Тейлора функции сходится к этой функции в рассматриваемой окрестности точки .

Как следствие, получаем теорему единственности:

Если функция в окрестности точки разложена в степенной ряд по степеням , то такое разложение единственно иначе не может быть 2-ух различных рядов по степеням , сходящихся к одной и той же функции.

(3) - остаток ряда

из (3) следует, что, если:

, то

Итак: для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к ней в некотором интервале необходимо и достаточно чтобы в рассматриваемом интервале стремился к 0 остаточный член ряда

Можно показать, что представим в виде: , где ;

Замечание: ряд Тейлора, составленный для функции в окрестности нуля, , называется рядом Маклорена.

Дата добавления: 2014-10-22