Повторные испытания

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА.

Теорема 1. Пусть событие А может произойти при условии появления одного из попарно несовместных событий Н₁, Н₂, …Н_n, которые образуют полную группу, причем известны Р(Н₁), P(H₂), …, P(H_n) и Р(А/H₁), P(A/H₂), …, P(A/H_n), тогда вероятность события А равна

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/H₁) + P(H₂)P(A/H₂) + … + P(H_n)P(A/H_n)

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Доказательство. По условию А= АН₁ + АН₂ + … +АН_n. Т.к. Н _i – несовместные, то АН _i – тоже несовместные (i =1, 2, …, n), следовательно, по теореме сложения Р(А) = Р(АH₁) + P(AH₂) + … + P(AH_n). По теореме умножения P(AH _i)=Р(А)Р(А/Н _i), следовательно, Р(А) = Р(АH₁) + P(AH₂) + … + P(AH_n)= =Р(Н₁)Р(А/H₁) + P(H₂)P(A/H₂) + … + P(H_n)P(A/H_n), ч.т.д.

Замечание. События Н _i называют гипотезами, т.к. зарание неизвестно, которое из них наступит.

Если предположить, что в результате испытания событие А уже произошло, то возникает задача: вычислить условные вероятности появления гипотез, т.е. вычислить Р(H₁/А), P(H₂/A, …, P(H_n/A).

Теорема 2. Пусть событие А может произойти при условии появления одного из попарно несовместных событий Н₁, Н₂, …Н_n, которые образуют полную группу, и пусть известно, что в результате испытания событие А произошло, тогда условная вероятность i -той гипотезы равна

Р(А/H _i) =

Эта формула называется формулой Байеса.

Замечание. Здесь Р(А) вычисляют по формуле полной вероятности.

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна р (0<p<1), то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз можно вычислить по формуле Бернулли:

Р_n (k)=С

где q = 1 – p.

Например. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна . Найти вероятность выиграть по двум билетам из пяти.

Решение: по условию р = , значит q = ; n = 5, k = 2. Тогда по формуле Бернулли получаем P₅(2)=C= =0,1285.

Ответ: 0,1285.

Замечание: если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях пользуются предельными теоремами Лапласа.

Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу для приближенного вычисления вероятности появления в n испытаниях события А k раз, если n велико. В 1730г для р=0,5 асимптотическая формула была найдена Муавром, а в 1783г Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного р¹0 и ¹1 (поэтому локальную теорему Лапласа иногда называют теоремой Муавра-Лапласа)

Теорема1 (локальная теорема Лапласа).

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и р¹0, р¹1, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз приблизительно равна значению функции = при х = .

Замечание 1. Вероятность тем точнее, чем выше n.

Замечание 2. З начения функции можно вычислять на калькуляторе или по таблицам (см. приложение 1). Причем, очевидно, функция j(х) – четная, т.е. j(−х) = j(х).

Таким образом,

Pn(k), где

q = 1-p, х = .

Замечание 3. Иногда используют формулу Пуассона P_n(k)=, .

Теорема2 (интегральная теорема Лапласа).

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и р ≠ 0, р ≠ 1, то вероятность Р_n(k₁< k < k₂) того, что событие А появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна Р_n(k₁≤ k ≤k₂) ≈, где х₁ = , х₂ = .

Рассмотрим для облегчения функцию Ф(х) = , ее называют функцией Лапласа, значения которой приведены в таблице, и преобразуем формулу из формулировки теоремы 2, чтобы ее было удобно применять:

Р_n(k₁≤ k ≤k₂) ≈= + =+

+= – Ф(х₁) + Ф(х₂).

Таким образом,

Рn(k1≤ k ≤k2) ≈ Ф(х2) – Ф(х1)

где х1 = , х2 =

Замечание 4. Функция Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(−х) = −Ф(х), и при всех х >5 можно принять Ф(х)=0,5.

Замечание 5. При малых n лучше вероятности считать по формуле Бернулли, и применять теорему сложения вероятностей.

Наивероятнейшее число появлений k ₀ события А в n испытаниях можно определить из двойного неравенства:

np – q k₀ np + p

где р – вероятность появления в одном испытании, q = 1 – р.

Здесь: 1) если np – q - дробное, то двойное неравенство имеет единственное целое решение; 2) если np – q - целое, то двойное неравенство имеет два целых решения.

Дата добавления: 2014-10-22