Радиус сходимости степенного ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля

Степенные ряды. Теорема Абеля.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Т.1. Если члены ряда (1) непрерывные дифференцируемые функции в D, ряд сходится в этой области к сумме . И ряд (2) в области D сходится равномерно, то ряд (1) в области D можно почленно дифференцировать, т.е.

Т.2. Если члены функции ряда (1) есть непрерывные функции в области D и ряд в этой области сходится равномерно к сумме , то в области D ряд (1) можно почленно интегрировать, т.е.

О. Функциональный ряд вида (1), где - действительные числа, называющиеся степенным рядом.

- если , то (2) – ряд разложенный по степеням х.

Теорема Абеля: Если степенной ряд (2) сходится в точке , то он абсолютно сходится для любого х:

1) в интервале

2) если степенной ряд (2) расходится в , то он расходится для всех х в интервале .

Доказательство: рассмотрим ряд (1)

Пусть ряд (1) сходится в точке , т.е. (2), тогда на основании необходимого признака сходимости ряда, имеем выполняется неравенство:

Перепишем (2) в виде:

(3) и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов, получим ряд (4):

(4) в силу неравенства каждый член ряда (4) меньше соответствующих членов геометрической прогрессии со знаменателем .

(5) - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия где

Рассмотрим ряд (5):

Если , т.е. ряд (5) сходящийся для всех х, если .

Ряд (4) (применяя признак сравнения при условии ) тоже сходится.

Ряд (3) и (2) тоже сходящийся абсолютно.

Доказали I часть теоремы Абеля.

Доказательство II части: допустим противное:

Ряд (2) сходится для всех х и удовлетворяет условию , то по 1-ой части теоремы Абеля, он абсолютно сходился бы при всех значениях . В частности, при , а это противоречит условию.

ч т.д.

Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости (симметричного относительно начала координат в случае ряда (2) и симметрично относительно в случае ряда (1).

Дата добавления: 2014-10-22