Достаточные признаки сходимости ряда

Необходимый признак сходимости.

Свойства сходящихся рядов.

Т.1. Если ряд (1) сходится и имеет сумму S, то и ряд (2) сходится и имеет сумму CS

Т.1. Если ряды (1) и (2) сходятся соответствующе к суммам S₁ и S₂, то и ряды и их сумма

Т.1. Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость (расходимость) ряда.

Т. Если ряд (1) сходится, то (2)

Доказательство: (3)

(4)

(вычтем (3) – (4))

ч.т.д.

Эта теорема даёт лишь необходимый признак сходимости ряда, но не достаточный.

Следствие: Достаточный признак расходимости ряда:

Например: - гармонический ряд

может сходиться

Далее докажем, что он расходится.

1) Интегральный признак сходимости ряда.

Т. Пусть для ряда (1) выполняется условие: (2) и существует такая непрерывная, невозрастающая функция , что (3), тогда если несобственный интеграл сходится (расходится), то иряд (1) сходится (расходится)

Например: Рассмотрим ряд: (1)

Ряд (1) называется Дирихле (обобщённый гармонический ряд)

Исследуем ряд (1) на сходимость:

1) , тогда члены ряда (1) ,

рассмотрим на

непрерывная убывающая и

Исследуем на сходимость:

2) получаем гармонический ряд

ряд расходится

2) Признак сравнения.

Т. Если для рядов (1) (2) с положительными членами выполняется неравенство: (3), то из сходимости ряда (2) следует ходимость ряда (1) и из расходимоси ряда (1) следует расходимость ряда (2)

Следствие: Предельная форма признака сравнения:

Т. Если и - ряды с положительными членами и существует , то рассматриваемые ряды одновременно сходятся или расходятся.

Например:

- расходится

- ряд расходится

Т.2. Ряды вида: , где - многочлен от

- многочлен от

Вопрос о сходимости рядов такого вида полностью исчерпывается путём сравнения с рядом: , где - ряд сходится, - расходится.

3) Признак Даламбера.

Т. Если для ряда (1) с положительными членами существует (2), то при:

1) ряд сходится

2) ряд расходится

3) ???

Доказательство: Из (2) => для любого

(3)

Рассмотрим 2 случая:

1) , т.к l произвольное число, то выберем его так чтобы и воспользуемся правой частью неравенства (3), получим:

(4)

Составим ряды из членов, стоящих слева и справа (4).

(5)

(6)

Ряд (6) сходится, как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия => ряд (5) на основании неравенства (4) и Т.1. тоже сходится => ряд (1) – сходящийся, т.к. ряд (5) получен из ряда (1) отбрасыванием конечного числа членов.

2) Можно выбрать Е столь малым, чтобы число и воспользоваться левой частью неравенства (3) из которого следует:

Члены ряда возрастают => ряд возрастает

, т.е. не выполняется необходимое условие.

3) Радикальный признак Каши.

Т. Если для ряда с положительными членами , то:

- ряд сходится

- ряд расходится

-???

Например:

ряд сходится

Дата добавления: 2014-10-22