Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

(1)

(1)

Т, Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородному уравнению и любого частного решения неоднородного уравнения.

т.е. если и линейные независимые решения для однородного уравнения

- частное решение неоднородного

Согласно теоремы (2)

Доказательство:

1) покажем, что решение (2) есть решение дифференциального уравнения (1)

Функция (2) является решением дифференциального уравнения (1) при любых с₁ и с₂

2) покажем, что решение (2) общее

Зададим произвольно начальные условия

(3)

можно подобрать с₁ и с₂ так, что функция (2) будет удовлетворять начальным условиям (3).

Продифференцируем (2) в (3)

(4)

Получим систему относительно с₁ и с₂

Линейная алгебраическая система (4) относительно с₁ и с₂, которая имеет единственное решение, т.к.

- общее решение неоднородного уравнения

Т. Если - частное решение дифференциального уравнения вида , а - частное решение уравнения , то - частное решение уравнения: .

Дата добавления: 2014-10-22