Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

1) уравнение вида , где - непрерывная функция на

2) дифференциальное уравнение, явно не содержащее функцию

подстановка

3) уравнения, явно не содержащие x

подстановка

(1)

- непрерывные функции на

в частности они могут быть постоянными или нулями.

Уравнение (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка или уравнением с правой частью.

Если , то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением, соответствующим однородному уравнению (1).

- линейный дифференциальный оператор, применимый к дифференциальным уравнениям.

Тогда уравнение (1) записывается так:

(1)

(2)

Свойства линейного оператора

1) свойства линейности

Доказательство: если , где y₁ и y₂ – любые функции, имеющие n непрерывных производных.

ч.т.д.

2) свойство однородности:

3)

На основании свойств оператора отметим некоторые свойства решений однородного уравнения.

Т.1. Если и - частные решения , то тоже является частным решением уравнения

Доказательство:

Т.2. Если у(х) частное решение дифференциального уравнения (2), то функция су, где c=const, тоже будет решением дифференциального уравнения (2).

Т.3. Если и - решения однородного уравнения , то функция , которая представляет собой линейную комбинацию этих решений с произвольными постоянными с₁ и с₂, так же будет решением дифференциального уравнения (2).

Т.4. Если комплексная функция , где является решением однородного дифференциального уравнения (2), то каждая из функций U(x) и V(x) так же являются решением дифференциального уравнения (2).

Дата добавления: 2014-10-22