Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Решение. 3.4. Угол между плоскостями




Решение.

Решение.

d= = = =.

 

 

3.4. Угол между плоскостями

Если даны две плоскости уравнениями:

(I)

, (II)

то их нормальные векторы

={ } и ={ }.

Задача 3.4. Определение угла между плоскостями сводится к нахождению угла между векторами (см. рис. 3.3).

 

Рис.3.3

 

Решение. Перенесем и в любую точку пространства и определим φ по скалярному произведению двух векторов

=.

Условие перпендикулярности двух плоскостей или

, параллельности – const.

 

3.5. Прямая в пространстве

1. Каноническое уравнение прямой (см. рис. 3.4.).

Пусть прямая проходит через т. параллельно данному вектору { m, n, p }.

Напишем уравнение этой прямой. Для этого возьмем на ней произвольную т. M(x, y, z). Составим вектор

={ }.

 

 

Рис.3.4

 

Этот вектор будет коллинеарен вектору. По условию коллинеарности векторов можно записать

– это уравнение называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Вектор { m, n, p } называется направляющим вектором этой прямой. Если – единичный вектор, т.е. =1, то;;, где – углы образуемые вектором с осями Ox; Oy; Oz.

 

2. Параметрическое уравнение прямой.

Положим в канонических уравнениях отношения равными t – параметру

,

тогда получим:

,, или

    – получим параметрическое уравнение прямой

Здесь – координаты точки, а m, n, p – проекции направляющего вектора.

Задача 3.5. Составить каноническое и параметрическое уравнение прямой, проходящей через т. M (1, 2, 3) и параллельно вектору {2, –7, 10}.

– каноническое уравнение.

 

 

 

 

– параметрическое уравнение прямой.

 

3. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Пусть прямая проходит через 2 точки: и.

Составим вектор, лежащий на прямой

– это направляющий вектор прямой. Тогда можно записать уравнение прямой через 2 точки

 

 

Задача 3.6. Составить уравнение ребра пирамиды с вершинами,,,.

Используем уравнение прямой, проходящей через 2 точки и

,

.

Здесь {–4, –10, –6} – координаты направляющего вектора прямой – ребра пирамиды.

 

Контрольные вопросы

 

Чем определяется угловой коэффициент прямой?

Каким образом определяется расстояние от точки до плоскости?

Как определить угол между двумя плоскостями?

Сформулируйте условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Приведите вывод канонического уравнения прямой.

Что такое направляющий вектор прямой?

 

 

Контрольные задания

 

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
В(5; 3) и имеющий нормальный вектор = (5; 0).

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
С(–3; 3) и имеющий нормальный вектор = (–3; 2).

3.** Составить уравнение высоты BD в треугольнике с вершинами А (7; 0), В (3; 6), С (–1; 1).

4.* Составить уравнения диагоналей ромба, заданного точками А (2; 2), В (3; 5), С (4; 2), D (3; –1).

5. Составить уравнения сторон квадрата, заданного точками А (1; 1), В (4; 2), С (5; –1), D (2; –2).

6.** Треугольник задан точками А (5; 2), В (–1; –4), С (–5; –3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно АС.

7. Составить уравнения прямых, заданных двумя точками:

a. А (1; 3), В (4; 1); d. P (0; 0), Q (–3; 5);
b. С (–1; 5), D (3; –7); e. А (3; –5), В (3; 7);
c. М (–3; 0), N (0; 5); f. C (7; –1), D (–1; –1).

8.* Составить уравнения сторон треугольника с вершинами А (–1; 2), В (5; 3), С (4, –2).

9.* Составить уравнения диагоналей квадрата ABCD, заданного точками А (1; 1), В (4; 2), С (5; –1), D (2; –2).

10. Указать, какая пара уравнений соответствует параллельным прямым:

a. 2 x – 3 y + 5 = 0, 6 x – 9 y + 1 = 0; d. 3 x + 2 y + 3 = 0, 3 x – 2 y – 1 = 0;
b. 5 xy + 4 = 0, 10 x – 2 y + 1 = 0; e. 6 x + 10 y + 1=0, 3 x + 5y = 0;
c. 6 x – 3 y – 1 = 0, 2 x – 5 y + 5 = 0; f. 6 x – 3 y + 7 = 0, 2 x + y + 1 = 0.

11. Указать, какая пара уравнений соответствует перпендикулярным прямым:

a. 2 x + 3 y – 7 = 0, 3 x – 2 y = 0; c. 6 x – 4 y + 7 = 0, 8 x – 12 y – 1 = 0.
b. 5 x – 2 y + 1 = 0, 4 x + 10 y – 1 = 0;    

12.** Составить уравнение высоты AD треугольника, заданного точками A (–5; 3), B (3; 7), C (4; –1).

 

 

Глава 4

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

 

4.1. Предел последовательности. Предел функции

 

1. Числовой последовательностью называется функция, определённая на множестве натуральных чисел. Каждое значение называется элементом последовательности, а число n – его номером.

Обозначают: или.

2. Число а называют пределом последовательности, если для любого >0 существует такое натуральное число N, что при всех выполняется неравенство

(*)

Обозначают:

3. Неравенство (*) равносильно неравенствам или

4. Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися; если нет предела – расходящимися.

5. Из определения предела последовательности следует, что предел постоянной равен этой постоянной:

 

6. Бесконечно малой последовательностью называется, предел которой равен нулю, т.е..

Для двух бесконечно малых последовательностей и – сумма, разность и произведение тоже является бесконечно малыми последовательностями.

1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа существует такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство:, при этом случае пишут.

2. Число b называется пределом функции при, если для любого числа существует такое, что при всех, удовлетворяющих условию выполняется неравенство.

Обозначение предела в точке а:

.

Если имеют конечный предел при, то

 

 

 

 

.

 

Пусть и – функции, одновременно обращающиеся в ноль, при и.

Отношение теряет смысл при. Тогда говорят, что функция в точке имеет неопределенность.
Предел указанного отношения может существовать. Задача отыскания предела называется раскрытием неопределенности вида.

Если при функции и стремятся к, то говорят, что в точке функция имеет неопределенность вида. Данная задача раскрытия неопределенности вида называется отыскания предела при условии, что;.

Задача 4.1. В каких границах меняется, если < 3?




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-22; Просмотров: 441; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.022 сек.