Решение. 3.4. Угол между плоскостями

Решение.

Решение.

d= = = =.

3.4. Угол между плоскостями

Если даны две плоскости уравнениями:

(I)

, (II)

то их нормальные векторы

={ } и ={ }.

Задача 3.4. Определение угла между плоскостями сводится к нахождению угла между векторами (см. рис. 3.3).

Рис.3.3

Решение. Перенесем и в любую точку пространства и определим φ по скалярному произведению двух векторов

=.

Условие перпендикулярности двух плоскостей или

, параллельности – const.

3.5. Прямая в пространстве

1. Каноническое уравнение прямой (см. рис. 3.4.).

Пусть прямая проходит через т. параллельно данному вектору { m, n, p }.

Напишем уравнение этой прямой. Для этого возьмем на ней произвольную т. M(x, y, z). Составим вектор

={ }.

Рис.3.4

Этот вектор будет коллинеарен вектору. По условию коллинеарности векторов можно записать

– это уравнение называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Вектор { m, n, p } называется направляющим вектором этой прямой. Если – единичный вектор, т.е. =1, то;;, где – углы образуемые вектором с осями Ox; Oy; Oz.

2. Параметрическое уравнение прямой.

Положим в канонических уравнениях отношения равными t – параметру

,

тогда получим:

,, или

– получим параметрическое уравнение прямой

Здесь – координаты точки, а m, n, p – проекции направляющего вектора.

Задача 3.5. Составить каноническое и параметрическое уравнение прямой, проходящей через т. M (1, 2, 3) и параллельно вектору {2, –7, 10}.

– каноническое уравнение.

– параметрическое уравнение прямой.

3. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Пусть прямая проходит через 2 точки: и.

Составим вектор, лежащий на прямой

– это направляющий вектор прямой. Тогда можно записать уравнение прямой через 2 точки

Задача 3.6. Составить уравнение ребра пирамиды с вершинами,,,.

Используем уравнение прямой, проходящей через 2 точки и

,

.

Здесь {–4, –10, –6} – координаты направляющего вектора прямой – ребра пирамиды.

Контрольные вопросы

Чем определяется угловой коэффициент прямой?

Каким образом определяется расстояние от точки до плоскости?

Как определить угол между двумя плоскостями?

Сформулируйте условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Приведите вывод канонического уравнения прямой.

Что такое направляющий вектор прямой?

Контрольные задания

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
В(5; 3) и имеющий нормальный вектор = (5; 0).

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
С(–3; 3) и имеющий нормальный вектор = (–3; 2).

3.^** Составить уравнение высоты BD в треугольнике с вершинами А (7; 0), В (3; 6), С (–1; 1).

4.^* Составить уравнения диагоналей ромба, заданного точками А (2; 2), В (3; 5), С (4; 2), D (3; –1).

5. Составить уравнения сторон квадрата, заданного точками А (1; 1), В (4; 2), С (5; –1), D (2; –2).

6.^** Треугольник задан точками А (5; 2), В (–1; –4), С (–5; –3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно АС.

7. Составить уравнения прямых, заданных двумя точками:

a.	А (1; 3), В (4; 1);	d.	P (0; 0), Q (–3; 5);
b.	С (–1; 5), D (3; –7);	e.	А (3; –5), В (3; 7);
c.	М (–3; 0), N (0; 5);	f.	C (7; –1), D (–1; –1).

8.^* Составить уравнения сторон треугольника с вершинами А (–1; 2), В (5; 3), С (4, –2).

9.^* Составить уравнения диагоналей квадрата ABCD, заданного точками А (1; 1), В (4; 2), С (5; –1), D (2; –2).

10. Указать, какая пара уравнений соответствует параллельным прямым:

a.	2 x – 3 y + 5 = 0, 6 x – 9 y + 1 = 0;	d.	3 x + 2 y + 3 = 0, 3 x – 2 y – 1 = 0;
b.	5 x – y + 4 = 0, 10 x – 2 y + 1 = 0;	e.	6 x + 10 y + 1=0, 3 x + 5y = 0;
c.	6 x – 3 y – 1 = 0, 2 x – 5 y + 5 = 0;	f.	6 x – 3 y + 7 = 0, 2 x + y + 1 = 0.

11. Указать, какая пара уравнений соответствует перпендикулярным прямым:

a.	2 x + 3 y – 7 = 0, 3 x – 2 y = 0;	c.	6 x – 4 y + 7 = 0, 8 x – 12 y – 1 = 0.
b.	5 x – 2 y + 1 = 0, 4 x + 10 y – 1 = 0;

12.^** Составить уравнение высоты AD треугольника, заданного точками A (–5; 3), B (3; 7), C (4; –1).

Глава 4

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

4.1. Предел последовательности. Предел функции

1. Числовой последовательностью называется функция, определённая на множестве натуральных чисел. Каждое значение называется элементом последовательности, а число n – его номером.

Обозначают: или.

2. Число а называют пределом последовательности, если для любого >0 существует такое натуральное число N, что при всех выполняется неравенство

(*)

Обозначают:

3. Неравенство (*) равносильно неравенствам или

4. Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися; если нет предела – расходящимися.

5. Из определения предела последовательности следует, что предел постоянной равен этой постоянной:

6. Бесконечно малой последовательностью называется, предел которой равен нулю, т.е..

Для двух бесконечно малых последовательностей и – сумма, разность и произведение тоже является бесконечно малыми последовательностями.

1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа существует такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство:, при этом случае пишут.

2. Число b называется пределом функции при, если для любого числа существует такое, что при всех, удовлетворяющих условию выполняется неравенство.

Обозначение предела в точке а:

.

Если имеют конечный предел при, то

.

Пусть и – функции, одновременно обращающиеся в ноль, при и.

Отношение теряет смысл при. Тогда говорят, что функция в точке имеет неопределенность.
Предел указанного отношения может существовать. Задача отыскания предела называется раскрытием неопределенности вида.

Если при функции и стремятся к, то говорят, что в точке функция имеет неопределенность вида. Данная задача раскрытия неопределенности вида называется отыскания предела при условии, что;.

Задача 4.1. В каких границах меняется, если < 3?

Дата добавления: 2014-10-22