Решение. В декартовой системе координат найдём две точки, через которые проходит эта прямая

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

В декартовой системе координат найдём две точки, через которые проходит эта прямая.

Положим x = 0, – 4 + 12 = 0 => y = 3, точка М ₁(0, 3).

Теперь y = 0,3 x + 12 = 0 => x = – 4, точка М ₂(–4, 0).

Если А = 0, By + C = 0, y = – – прямая, параллельная оси OX.

Если В = 0, Ax + C = 0, x = – – уравнение прямой, параллельной оси OY.

Если С = 0, Ax + By = 0, y = – – уравнение прямой, проходящей через начало координат (см. рис. 2.4).

Рис.2.4

2.5. Угол между прямыми

Пусть на плоскости XOY даны две непараллельные прямые. Эти прямые пересекаясь, образуют 2 угла в точке М. Определим угол φ между І и ІІ прямыми, если даны их уравнения с угловыми коэффициентами y = k ₁ x + b ₁ и y = k ₂ x + b ₂. По чертежу видим, что α₂ – внешний угол. Угол α равен сумме двух внутренних углов этого треугольника не смежных с ним (см. рис. 2.5).

отсюда.

Найдём tg этих выражений:

,,.

Получим формулу:.

Рис. 2.5

Задача 2.2. Найти угол между прямыми 2 x + 3 y – 1 = 0 и
x – 3 y + 5 = 0.

Приведём уравнение к уравнению с угловыми коэффициентами

Замечание.

Определим условие перпендикулярности и параллельности прямых из формулы.

Если прямые перпендикулярны, то не существует. Дробь не существует, когда знаменатель её равен 0, т.е. 1 + k ₁ k ₂ = 0 или k ₁ k ₂ = –1, k ₁= – условие перпендикулярности.

Если прямые параллельны, то, следовательно дробь должна быть равна 0, а это возможно если =0, т.е.

Задача 2.3. Дана прямая 3 x – 4 y + 4 = 0.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку М (2, –1)

a. перпендикулярной к данной;

b. параллельной ей.

Приведём уравнение к уравнению с угловым коэффициентом

– 4 y = –3 x – 4, y =, k =.

Из условия параллельности k ₁=. Тогда используя уравнение прямой через данную точку y – y ₁ = k (x – x ₁)

b. y + 1 = 4 y + 4 = 3 x – 6 3 x – 4 y – 10 = 0.

a. Если k =, по условию перпендикулярности

.

Задача 2.4. Даны 3 точки А (3; –13), В (21; –1), С (10; –4). Проверить, что эти 3 точки не лежат на одной прямой, т.е. образуют треугольник.

Найдем уравнения всех сторон треугольника по формулам уравнения прямых через 2 точки.

Уравнение АВ: А (3; –13), В (21; –1)

;

;

2x – 6 = 3y + 39 => 2x – 3y – 45=0.

Уравнение ВС: В (21; –1), С (10; –4)

;

3x – 11y – 74 = 0.

Уравнение AС: С (10; –4), A (3; –13)

;

9 x  – 27 = 7 y  + 91; 9 x – 7 y – 118 = 0.

Cтроим эти точки в системе координат. По уравнению линий, видим, что угловые коэффициенты их различны и точка А не принадлежит прямой ВС.

А (3; –13) уравнение ВС: 3 х – 11 у – 74 = 0.

3 3 – 11 (–13) –74 0, следовательно, прямые образуют треугольник.

Найдем С между АС и ВС

АС: 9 х – 7 у – 118 = 0, k =.

BC: 3 x – 11 y – 74 = 0, k =.

Пусть k =, k =, tg ACB =,

ACB 57,3.

Задача 2.6. Вычислить периметр треугольника.

Найдем расстояние между точками А и В, В и С, С и А.

P= + + 21,6+11,4+11,4 44,4.

2.7. Расстояние от точки до прямой.
Вывод нормального уравнения прямой

Предположим, что в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 выполняется условие А + В = 1. Геометрически это означает (см. рис. 2.7).

Рис. 2.7

Если провести из начала координат на прямую вектор, то его длина равна 1 (см. рис. 2.7). Вектор – нормальный (перпендикулярный) единичный вектор прямой, где А и В – проекции этого вектора на оси ОХ и ОУ. В этом случае уравнение называем нормальным и записывается так: Ах + Ву + С =0. Любое другое уравнение прямой (общее) приведем к нормальному виду, если разделим его левую часть на, тогда является нормирующим множителем. Иногда это уравнение записывается так:

или, т.е.

(φ – угол наклона нормального вектора к оси ОХ)

– длина вектора

Найдем расстояние от т. до прямой Ах + Ву + С = 0. Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Для этого умножим на – нормирующий множитель. Получим, подставим т. в это уравнение.

Тогда т.к. для вектора. Вектор – вектор расстояния от т. до прямой. Длина вектора = =, т.к. = (рис. 2.7).

Следовательно, = – расстояние от т. М до прямой Ах + Ву + С = 0 или =.

Задача № 2.7. Найти расстояние от т. М (–1; 2) до прямой 5 х + 12 у + 8 = 0.

Дата добавления: 2014-10-22