Решение. При n→∞ получаем неопределенность вида

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

При n →∞ получаем неопределенность вида. По формуле (1) положим, тогда.

Если n →∞, то α→0. На основании свойства пределов
[ ] и (1) получаем

Задача 4.11. Найти предел.

Имеет место неопределенность.

т.к. α→0, то.

Задача 4.12. Найти предел.

Спосо б 1. При x = 0 числитель и знаменатель обращаются в нуль. Чтобы раскрыть эту неопределенность, положим 3 х = α, тогда х = α/3; если x →0, то α→0. Подставив в условие данные равенства и используя формулу (2), получим

Способ 2. Умножим числитель и знаменатель на 3, получим:

Задача 4.13. Найти предел

Здесь имеем неопределенность вида. Для ее раскрытия применим формулу (1).

Задача 4.14. Найти предел.

При данном x числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Знаменатель содержит иррациональность. Освободимся от иррациональности и воспользуемся (1).

Имеем

Задача 4.15. Используя второй замечательный предел найти:

Сделаем замену переменной

Если n → ∞ то x → –∞, тогда:

Задача 4.16.

Контрольные вопросы:

Что называется числовой последовательностью?

Что называется пределом числовой последовательности?

Какая последовательность называется сходящейся (расходящейся)?

Что такое бесконечно малая и бесконечно большая последовательность?

Что называется пределом функции?

Каким образом раскрывается неопределенность вида?

Сформулируйте правило раскрытия неопределенности вида.

Контрольные задания:

1. В каких границах меняется х, если

a. | х | < 2 b. | х + 1| < 2

| х – 2| < 5 | х + 3| < 7

2. Найти пределы:

a.; b.; c. ^**; d.; e. ^*; f.; g. ^*; h. ^*; i.; j.;

k.; l.; m. ^*; n.; o.; p. ^**; q. ^**; r.; s..

Глава 5

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

5.1. Область определения, частные
и полные приращения, непрерывность
функции нескольких переменных

Переменная U называется функцией от переменных (x, y, z … t),если в каждой системе значений x, y, z … t области их изменения соответствует определенное значение U.

U = f (x, y, z … t) – символическое обозначение.

Для функции переменных Z = f (x, y) – это совокупность точек плоскости о, x, y; для трех переменных – совокупность точек пространства.

Задача 5.1. Найти область определения функции.

.

Функция определена в тех и только в тех точках плоскости XOY, координаты которой удовлетворяют условию XY > O. Все эти точки лежат внутри 1 и 3 координатных. углов (открытая область) – т. (0,0) и на осях не входят (рис. 5.1).

Рис.5.1

Задача 5.2. Найти область определения функции

.

Здесь – вся область плоскости XOY, за исключением прямой 2 x + y = 0, т.е. там, где знаменатель обращается в ноль.

Задача 5.3. Найти область определения функции

.

Область определения круг с центром в начале координат и радиусом r =1, включая границу. Графическим изображением функции является полусфера, расположенная над плоскостью ХОY (рис. 5.2).

Рис. 5.2

5.2. Частные производные и полный
дифференциал функции нескольких переменных

Дата добавления: 2014-10-22