Примеры. Примеры на различные типы

Примеры.

Примеры на различные типы.

Решение III типа.

Решение II типа.

Решение I типа.

Примеры.

1.

,

разлагаем на простейшие

2.

– выделим целую часть

1-я целая часть, – остаток разложения на простейшие

		,
		–1 = 1 – 4 + C + D, C = 2
		0 = – 2 + 2 – D, D = 0

3.

Дополнительные примеры:

1.

2.

3.

6.6. Интегрирование
тригонометрических функций

Чаще всего встречаются интегралы следующих функций

I., где k – чётное число.

II. где n и m – нечётное число.

III. где R рациональная функция от sin x и cos x.

Интеграл от чётной степени или можно найти путём понижения степени по формулам:

,.

Пример.

Интеграл от нечётной степени sin x или cos x. Отделим от нечётной степени один множитель, например: и заменим cos x на t тогда

, а.

Делаем замену, тогда

Пример (метод универсальной тригонометрической постановки):

, тогда

1.

2.

3.

a. первый интеграл

b. второй интеграл берём как от нечётной степени

т.к.

=

Окончательно:

4. применяя универсальную тригонометрическую подстановку

(выделим целую часть от неправильной дроби)

5.

6.

7.

8.

Контрольные задания

1. Вычислить неопределенные интегралы и проверить результаты дифференцированием:

a.; b.; c.; d.; e.; f.; g.; h.; i.;

j.; k.; l.; m. ^*; n.; o.; p.; q..

2. Вычислить неопределенные интегралы и проверить результаты дифференцированием:

a.; b.; c.; d.; e.; f.; g.; h. ^**; i.; j. ^*; k.;

l. ^**; m. ^*; n. ^*; o.; p.; q. ^*; r. ^**; s. ^**.

3. Найти неопределенные интегралы

a.; b.; c.; d.; e.; f. ^*; g.; h.; i. ^*;

j.; k. ^*; l.; m. ^**; n. ^**; o.; p. ^**.

Раздел 7

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

7.1. Формула Ньютона-Лейбница

Определённым интегралом называется предел интегральной суммы

, при условии, что число промежуточных точек неограниченно возрастает, а длина частных сегментов (отрезков) стремится к 0.

Обозначается.

Вычислять определённый интеграл нужно с помощью неопределённого интегрирования. Если F (x) есть любая первообразная функции f (x) т.е. (x) = f (x), то интеграл

(1) – формула Ньютона-Лейбница.

Определённый интеграл равен разности значений неопределённого интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

1.

2.

В данных примерах применялись свойства неопределённого интеграла:

1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов;

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

В определенном интеграле также применяется интегрирование по частям:

Примеры.

7.2. Замена переменной в определенном интеграле

При вычислении многих интегралов полезно заменить переменную интегрирования.

Если преобразуется при помощи подстановки х = φ(t) в другой интеграл, с новой переменной t, то заданные пределы интегрирования х ₁ = a, х ₂ = b заменяем новыми пределами t ₁ = α, t ₂ = β, которые определим из исходной подстановки

1. Универсальная подстановка.

2.

7.3. Геометрические приложения

a. Площадь плоской фигуры

Рис.7.1

Задачи.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы y = х ² + 1, прямой х = 4 и осями координат.

Решение: S =

Вычислить площадь, ограниченную линиями y = 4 – х ² и y = х ² – 2 х.

Дата добавления: 2014-10-22