Свойства операций над матрицами

Пример 1.3.

Если , то .

Разность двух матриц одинаковой размерности определяется через операции сложения матриц и умножения матрицы на число .

Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением называется матрица , где элемент с_ij равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

Пример 1.4. Если А = , В = , то

где

.

Произведение не существует.

Транспонирование матрицы. Транспонирование матрицы – замена строк матрицы соответствующими столбцами.

Пример 1.5. Если А = , то А ^Т = .

1° коммутативность

2° ассоциативность

3°

дистрибутивность

4° некоммутативность

5°

6° , если и ассоциативность

7° , если и дистрибутивность

, если и

8° , если ассоциативность

9° , если

10° свойства операции

11° транспонирования

12°.

Пример 1.6. Вычислить АВ и ВА, если .

АВ ВА.

Матрицы называют делителями нуля, если .

Множество матриц содержит делители нуля, например, .

Если на множестве квадратных матриц ввести две бинарные алгебраические операции (сложение и умножение), то имеет место теорема.

Теорема. Множество квадратных матриц с двумя бинарными алгебраическими операциями (+,), относительно которых выполняются аксиомы ассоциативности и коммутативности сложения матриц, существования нейтрального элемента относительно сложения - нулевой матрицы, существования для любой матрицы противоположной, дистрибутивности умножения матриц относительно сложения, образует кольцо квадратных матриц с элементами поля F.

Запись: Алгебра F = - кольцо квадратных матриц над полем F.

Дата добавления: 2014-10-22