Решение. Определяем точки пересечения парабол:

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Определяем точки пересечения парабол:

4 – х ² = х ² – 2 х → 2 х ² – 2 х – 4 = 0

х ² – х – 2 = 0

х ₁ = –1; х ₂ = 2;

y ₁ = 3; y ₂ = 0.

Видим, что искомую площадь S можно найти как алгебраическую сумму площади трапеции:

S = S_A′ACB + S_ODB – S_A′AO.

Отдельно найдем каждую площадь:

S_A′ACB =

S_ODB =

S_A′AO =

b. Длина дуги плоской кривой

Если кривая задана уравнением у = f (x), то формула длины дуги:

1. Вычислить длину дуги полукубической параболы
у ² = (х – 1)³ между точками А (2; –1) и В (5; –8).

Разрешим уравнение относительно y и найдем у '

y = t (х – 1)^3/2 у ' = t ()(х – 1);

2. Найти длину дуги кривой y = e ^x между точками А (0; 1) и В (1; е).

Рис.7.2

7.5. Длина дуги кривой

Длина дуги кривой () вычисляется по формуле:

или (1)

Длина дуги кривой, заданной параметрически:,,, определяется формулой:

или (2)

Если кривая задана уравнением в полярных координатах:, где, то

(3)

Пример 1. Вычислить длину дуги линии между точками, для которых,.

Искомую длину вычисляем по формуле (1).

Так как,, то

Пример 2. Найти длину дуги линии, ().

Применяя формулу (2), полагаем в ней,.

Так как,

,

,

то

Пример 3. Найти длину всей линии, заданной уравнением в полярных координатах.

1. Используем формулу (3). Для этого возведём в квадрат функцию. Получаем:. Тогда;.

2. Находим длину дуги кривой для данной функции:

7.6. Объём тела вращения

I. Объём тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции AabB (рис. 7.3), где АВ – дуга кривой
y = f (x), вычисляется по формуле

(4)

Рис.7.3

II. Объём тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции CcdD (рис. 7.4), где СD дуга кривой
х =, определяется формулой

(5)

Рис. 7.4

Пример 1. вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой
у = х ⁶ , прямой х = 2 и осью Оу.

В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования а = 0, b = 2.

По формуле 4 получаем

Пример 2. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной параболой х ² = 4 у, прямой у = 4 и осью Оу (рис. 7.5).

Пределы интегрирования с = 0, d = 4.

По формуле 5 находим

Рис.7.5

Пример 3. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой ху = 6, прямыми у = 1, у = 6 и осью Ох (рис. 7.6).

Из уравнения кривой ху = 6 находим:

;

Рис. 7.6

Так как с = 1; d ⁶ = 6 по формуле 5 получаем

Пример 4. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной фигуры, ограниченной параболой и прямыми х = ±.

Применим формулу 4. Выражение для у ², входящее в эту формулу, определяется из уравнения гиперболы;

Искомый объём

Пример 5. Вычислить объём тела, полученного вращением эллипса b ² х ² + a ³ у ³ = a ³ b ² вокруг оси Ох (рис. 7.7).

Из условия эллипса находим выражение для у ²

По формуле 5 получаем

x

Рис.7.7

При a = b = R получаем V=.

Пример 6. Найти объём тела, полученного вращением одной арки циклоиды х = (t – sin t), y = a (1 – cos t) вокруг оси Ох.

Дата добавления: 2014-10-22