Матричные уравнения

Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований над строками

Матрица называется обратной квадратной матрице А, если .

Элементарные преобразования над строками матриц:

1. перемена мест двух строк

2. умножение строки на число, отличное от нуля

3. прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на число.

Теорема. Если какая–либо цепочка элементарных преобразований над строками переводит квадратную матрицу А в Е, то А – обратима и эта же цепочка переводит Е в .

Правило вычисления матрицы, обратной к . Прямоугольную матрицу размера при помощи цепочки элементарных преобразований над строками приводят к виду , т.е.

Пример 1.7. Найти матрицу, обратную .

Правильность вычисления обратной матрицы можно проверить, используя определение обратной матрицы: .

Решение матричных уравнений для случая, когда матрицы А и С – невырожденные (определители матриц отличны от нуля) находят следующим образом:

1)

2)

3)

4).

Пример 1.8. Решить уравнение .

Обозначим буквами матрицы, входящие в уравнение: .

Для того, чтобы выразить матрицу Х, умножим левую и правую часть уравнения на матрицу слева:

/

, т.к. , получаем

.

Найдем , используя элементарные преобразования над строками

,

.

Дата добавления: 2014-10-22