Свойства определителей

Определитель матрицы. Свойства определителей

Определителем квадратной матрицы n - го порядка называется число, равное алгебраической сумме n! произведений по n элементов в каждом, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы - . Знак произведения соответствует знаку подстановки j_k =из индексов элементов матрицы, входящих в произведение

Если

Если или

или - «правило треугольников».

Пример 2.3. Вычислить определитель:

1. .

2.

1° Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

2° При умножении строки (столбца) определителя на число, весь определитель умножается на это число. В частности:

общий множитель элементов любой строки (столбца) матрицы выносить за знак определителя.

3° .

4° При перемене мест двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

5° Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

6° Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

7° В том случае, если элементы некоторой строки определителя представляют сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых указанная строка состоит из первых слагаемых, во втором – из вторых слагаемых. Все остальные строки в определителях такие, что и в исходном определителе.

8° Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число.

9° Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

10° .

Пример 2.4. Вычислить, используя свойства определителей .

Вынесем общие множители 1-й и 2-й строк за знак определителя

.

Вынесем за знак определителя общий множитель 2-го столбца и вычислим определитель:

.

Пример 2.5. Доказать равенство, используя свойства определителей

.

Т.к. третий столбец левого определителя можно представить в виде суммы трех столбцов, этот определитель можно представить в виде суммы трех определителей (используя свойство 7°):

Третий столбец во втором определителе пропорционален первому столбцу, а в третьем определителе – второму столбцу, следовательно, эти определители (на основании 6°) равны нулю, что и доказывает исходное равенство.

Пример 2.6. Вычислить, используя свойства определителей .

, т.к. в первом определителе 2-й и 3-й столбец равны, а во 2-ом определителе – 1-й и 3-й пропорциональны.

Пример 2.7. Вычислить определитель методом приведения к треугольному виду (используя свойство 9⁰).

а) .

б) . Перемена мест 1-го и 3-го столбцов изменит знак определителя на противоположный:

Дата добавления: 2014-10-22