Решение. Функцию U(x, y, z t) можно дифференц

Решение.

Решение.

Решение 2.

Решение 1.

Определение.

Решение.

Решение.

Определение.

Функцию U (x, y, z … t) можно дифференцировать по каждому из её аргументов, считая при этом все остальные аргументы постоянными.; U_x ^’ U_y ^’ U_z ^’– обозначение.

Задача 5.4 Найти частные производные от функции:

1..

;;

2..

;;;

3..

.

Задача 5.5. Вычислить значение частных производных в указанной точке

; x = 2; y = –1.

Находим частные производные

Задача 5.6. Проверить, что функция удовлетворяет уравнению:.

Тождественно преобразуем данную функцию и найдем частные производные по x и y.

1.;

2. Подставляем найденное значение и в данное выражение

;

,

т.е..

Частным дифференциалом функции по x называется главная часть частного приращения

Обозначение.

Из определения частных производных следует, что

Полный дифференциал du функции u равен сумме всех ее частных дифференциалов.

Задача 5.7. Найти полные дифференциалы функций:

1..

2..

1. Находим частные производные

2.Умножая частные производные на дифференциалы соответствующих аргументов, получим частные дифференциалы.

;.

Полный дифференциал найдем как сумму её частных дифференциалов

.

;;;

;;

;

.

Задача 5.8. Вычислить значение полного дифференциала функции.

, при х = 1, y = 3, dx = 0,01, dy = –0,05.

Находим частные производные.

;

Подставим значения переменных x, y, dy, dx; получим, что полный дифференциал

.

Задача 5.9. Вычислить приближенно.

Замещаем приращение функции ее полным дифференциалом.

Полагая, что есть частное значение функции в точке М ₁ (1,08; 3,96) и что вспомогательная точка будет М ₀ (1; 4), получим:

, так как ln1 = 0;

;

5.3. Дифференцирование сложных функции

Определение:

Функция Z называется сложной функцией от независимых переменных x, y,…, t, если задана она через промежуточные аргументы.

;;

;.

Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные этих аргументов по независимой переменной:

Если все аргументы зависят от одной независимой переменной x, то z – сложная функция от x. Тогда производная сложной функции называется полной и вычисляется по формуле

Задача 5.10.,, v = cos x.

Далее.

Задача 5.11.,,.

Здесь z от u и v, а сами u и v зависят от x и y. Тогда

5.4. Частные производные высших порядков

Частные производные, первого порядка обычно зависят от тех же аргументов и каждую из них можно дифференцировать по каждому аргументу.

Обозначения:

– смешанная частная производная.

Аналогично определяются производные III, IV… порядков.

Задача 5.12. Найти частные производные второго порядка

;;

;;.

Задача 5.13. Проверить что, если

Решение.; теперь по y

Дифференцируем в другом порядке:

Сначала z по y

, затем по x

Сравнивая результаты, видим.

Задача 5.14. проверить, что

Дата добавления: 2014-10-22