Решение. Неравенство |x–1| < 3 ~ –3 < x – 1 < 3,

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Неравенство | x –1| < 3 ~ –3 < x – 1 < 3,

откуда 1 – 3 < x < 3 + 1; таким образом, – 2 < x < 4.

Задача 4.2. Показать, что последовательность

X_n = (n = 1, 2, …) принимает значение: 1,,,, …

Пусть = 0,001. Неравенство < будет иметь место, когда n > 1000 N = 1000. Возьмём произвольное > 0 Покажем, что начиная с которого значения n, выполняется неравенство (*). В данном случае Y _n = и a = 0.

Неравенство | –0| < или < будет выполнятся, когда n >. В качестве числа N можно взять меньшее из двух целых чисел, между которыми заключено.

Таким образом, для любого > 0 можно указать такое N, что для всех n > N выполняется неравенство <. Это означает, что X_n имеет пределом нуль, т.е. = 0.

Задача 4.3. Найти предел.

На основании свойств пределов получим

Замечание.

Предел многочлена при xa, достаточно вычислить, т.е. его значение при xa.

Задача 4.4. Найти предел.

Решение:

На основании свойств пределов исходим:

Задача 4.5. Найти.

Числитель и знаменатель данной функции при х = 3 образуется в нуль (неопределенность вида). Преобразуем данное выражение, разложив числитель на множители и сократив на
х – 3 0

.

Задача 4.6. Найти предел.

При х = 1 числитель и знаменатель обращаются в нуль. Разложим на множители

– путем деления на х – 1 сокращается числитель и знаменатель на (х – 1) 0 и переходя к пределу получаем

Замечание.

Чтобы раскрыть неопределённость вида, заданную отношением двух многочленов, необходимо предварительно и в числителе и в знаменателе выделить приблизительный множитель (т.е. множитель равный нулю при предельном значении), сократить на него выражение и затем перейти к пределу.

Задача 4.7. Найти предел

При числитель и знаменатель неограниченно увеличиваются (неопределённость вида). Чтобы найти предел, преобразуем данную дробь, разделив числитель и знаменатель на старшую степень, т.е. на.

Здесь,,.

Задача 4.8. Найти предел.

Разделим числитель и знаменатель на, т. е. на старшую степень, и перейти к пределу, получим

Замечание.

Чтобы раскрыть неопределенность вида, заданную отношением двух многочленов, необходимо предварительно и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель (т.е. множитель равный нулю при предельном значении x), сократить на него выражение и затем перейти к пределу.

Задача 4.9. Найти предел.

Заметим, что при х = 3 числитель и знаменатель обращаются в нуль. Знаменатель содержит иррациональное выражение. Избавимся от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на () и перейдем к пределу:

Замечание.

Чтобы раскрыть неопределенность вида, в которой числитель и знаменатель содержат иррациональность необходимо предварительно избавиться от иррациональности.

4.2. Число e,

Числом e называется предел

е или =е (1)

е – число иррациональное, е ≈ 2,71828… Число е бывает полезно при раскрытии неопределенности вида.

Если угол α выражен в радианах, то (2)

Задача 4. 10. Найти предел.

Дата добавления: 2014-10-22