Решение. Свойства векторного произведения

Свойства векторного произведения

Определение.

Векторное произведение векторов

Решение.

Решение.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если, то их скалярное произведение равно 0.

, так как

Рассмотрим векторы в пространстве декартовой системы координат (рис. 1.5). Выберем на осях координат единичные векторы – орты. Тогда каждый вектор определяется в этой системе через их проекции на оси OX, OY, OZ.

Рис. 1.5

,

.

Длина вектора определяется по формуле:

,

,,.

Можно показать, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.

,

если,.

Пример № 1.1. Найти скалярное произведение векторов.

,,

.

Пример № 1.2. Между точками получили два вектора и. Найти их проекции и вычислить скалярное произведение

,

,,

Если векторы заданы своими координатами, то угол между векторами можно определить по формуле

.

Пример № 1.3. Определить угол при вершине, если, и.

Рис. 1.6

Решение.

Найдем векторы и. Для этого из координат конца вектора вычтем координаты начала.

;;

следовательно.

Замечание:

Если векторы параллельны, то их проекции пропорциональны:

.

Векторным произведением двух векторов и (рис. 1.7) называется такой вектор, который

1. Перпендикулярен векторам и.

2. Направлен в ту сторону, из которой кратчайший поворот от вектора к вектору происходит в направлении против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора с.

3. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах.

Рис.1.7

1. При перестановке местами сомножителей векторное произведение меняет знак, а модули их равны.

Если то.

2. Скалярный множитель можно вынести за знак векторного произведения.

или.

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством, т.е. векторное произведение векторов, заданных своими проекциями.

Пусть даны вектор и вектор можно доказать, что векторное произведение вычисляется определителем 3-го порядка.

Так как модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, то векторное произведение применяют для вычисления площадей.

Задача: № 1.4 Вычислить площадь с вершинами в точках

Вектор имеет проекции:

Вектор имеет проекции:

Площадь r равна 1/2 площади параллелограмма, а a 1/2 модуля векторного произведения

,

Найти площадь S грани А ₁ А ₂ А ₃ (грань пирамиды).

Решим аналогичную задачу:

1. Даны декартовы прямоугольные координаты вершин пирамиды.

Координаты точек:

Составим векторы и

_,

_.

Найдем векторное произведение:

Дата добавления: 2014-10-22