![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Формула Даламбера
Поставим задачу Коши для однородного волнового уравнения, т.е. найдем решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
Эту задачу (21), (22) можно решить методом Даламбера. Введем новые переменные
Вычислим и подставим их в уравнение (21)
После сокращений получим
Интегрирование этого уравнения дает Возвращаясь к переменным х и у, окончательно будем иметь
Функция
и
Проинтегрировав уравнение (26) в пределах от х 0 до х, получим
Разрешив совместно уравнения (25) и (27) относительно и 1(х) и и 2(х), получим
Подставив (28) и (29) в решение (24) окончательно получим решение задачи Коши для однородного волнового уравнения
Формула (30) называется формулой Даламбера для однородного волнового уравнения. Эта формула дает классическое решение задачи (21), (22) только в предположении, что функция
Пример 6. Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
▲ Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (30)
в которой Следовательно,
Рассмотрим задачу Коши для неоднородного волнового уравнения
Пусть
При
Формула Даламбера (30) дает
Перепишем формулу Даламбера (30) в виде
где являются решениями задачи (33), (34) при
Решение неоднородного уравнения (31) с нулевыми начальными условиями имеет вид
Поэтому в силу (36) и (37) решение исходной задачи (31), (32) можно представить в виде
Таким образом, с учетом (35), окончательно получим
Это формула Даламбера, которая дает решения задачи Коши для неоднородного волнового уравнения. Пример 7. Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
▲ Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (39)
Следовательно,
Задания для самостоятельной работы
Дата добавления: 2014-10-22; Просмотров: 13129; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |