Формула Даламбера

Поставим задачу Коши для однородного волнового уравнения, т.е. найдем решение уравнения

, (21)

удовлетворяющее начальным условиям

. (22)

Эту задачу (21), (22) можно решить методом Даламбера. Введем новые переменные

.

Вычислим :

и подставим их в уравнение (21)

.

После сокращений получим

. (23)

Интегрирование этого уравнения дает

Возвращаясь к переменным х и у, окончательно будем иметь

. (24)

Функция является решением уравнения (21), если и ₁ и и ₂ - произвольные дважды дифференцируемые функции. В решении (24) необходимо выбрать функции и ₁ и и ₂ так, чтобы удовлетворить начальным условиям (22)

(25)

и

. (26)

Проинтегрировав уравнение (26) в пределах от х ₀ до х, получим

. (27)

Разрешив совместно уравнения (25) и (27) относительно и ₁(х) и и ₂(х), получим

(28)

(29)

Подставив (28) и (29) в решение (24) окончательно получим решение задачи Коши для однородного волнового уравнения

. (30)

Формула (30) называется формулой Даламбера для однородного волнового уравнения. Эта формула дает классическое решение задачи (21), (22) только в предположении, что функция имеет производные до второго порядка включительно, а функция - до первого.

Пример 6. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям

.

▲ Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (30)

,

в которой .

Следовательно,

Окончательно решение исходной задачи имеет вид

▲

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного волнового уравнения

, (31)

. (32)

Пусть есть решение вспомогательной задачи Коши

, (33)

При

. (34)

Формула Даламбера (30) дает

. (35)

Перепишем формулу Даламбера (30) в виде

, (36)

где

являются решениями задачи (33), (34) при и соответственно, т.к. непосредственное дифференцирование показывает, что

.

Решение неоднородного уравнения (31) с нулевыми начальными условиями

имеет вид

. (37)

Поэтому в силу (36) и (37) решение исходной задачи (31), (32) можно представить в виде

. (38)

Таким образом, с учетом (35), окончательно получим

.(39)

Это формула Даламбера, которая дает решения задачи Коши для неоднородного волнового уравнения.

Пример 7. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям

.

▲ Для нахождения решения исходной задачи Коши используем формулу Даламбера (39)

в которой .

Следовательно,

Окончательно решение исходной задачи имеет вид

▲

Задания для самостоятельной работы

Дата добавления: 2014-10-22