Решение уравнения теплопроводности методом Тейлора

Задача Коши для уравнения теплопроводности

В первую очередь рассмотрим задачу Коши дляоднородного уравнения теплопроводности.

, (125)

удовлетворяющее неоднородному начальному условию

. (126)

Начнем с того, что заменим переменные x и t на и введем в рассмотрение функцию . Тогда функции будут удовлетворять уравнениям

где - функция Грина, определяемая формулой

, (127)

и обладающая свойствами

(128)

(129)

; (130)

. (131)

Умножив первое уравнение на G*, а второе на и и затем сложив полученные результаты, получим равенство

. (132)

После интегрирования по частям равенства (132) по в пределах от -∞ до +∞ и по в пределах от 0 до t, получим

. (133)

Если предполагать, что функция и ее производная ограничены при , то в силу свойств (131) интеграл в правой части (133) равен нулю. Следовательно, можно записать

. (134)

Заменив в этом равенстве на , а на , получим соотношение

или

.

Отсюда, используя формулу (127) окончательно получим

. (135)

Формула (135) называется формулой Пуассона и определяет решение задачи Коши (125), (126) для однородного уравнения теплопроводности с неоднородным начальным условием.

Решение же задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности

, (136)

удовлетворяющее неоднородному начальному условию

, (137)

представляет собой сумму решений:

,

где является решением задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности. , удовлетворяющее неоднородному начальному условию , а является решением , удовлетворяющее однородному начальному условию . Таким образом, решение задачи Коши (136), (137) определяется формулой

.(138)

Пример 15. Найти решение уравнения

(15.1)

для следующего распределения температуры стержня:

(15.2)

▲ Стержень является бесконечным, поэтому решение можно записать, используя формулу (135)

.

Так как в интервале равна постоянной температуре , а вне этого интервала температура равна нулю, то решение принимает вид

. (15.3)

Полагая в (15.3) , получим

.

Поскольку

представляет собой интеграл вероятностей, то окончательное решение исходной задачи (13.1), (13.2) можно выразить формулой

.▲

Задача Коши для уравнения теплопроводности имеет вид

(139)

(140)

где – неизвестная функция, – заданы.

Разложим функцию при любом фиксированном в ряд Тейлора по времени относительно точки t =0 (ряд Маклорена)

(141)

Если найти коэффициенты , то по формуле (141) получим решение. Заметим, что определяется из начального условия (140).

Разложим в ряд Маклорена функцию в правой части уравнения (139)

(142)

Поскольку функция задана, то все могут быть найдены.

Выражения для частной производной и оператора Лапласа в уравнении (139), следуют из (141)

(143)

Подставим (142) и (143) в уравнение (139). В результате получим равенство

Это равенство равносильно соотношениям

(144)

которые определяют коэффициенты и так далее через , заданную в начальном условии (140).

Таким образом, решение задачи Коши (139)–(140) выражается формулой:

(145)

где задана в (140), а остальные находятся по (144)

(146)

Пример 16. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так как и , то по (146) Отсюда находим

То есть, все остальные

Подставляем полученные в решение (145)

или

▲

Пример 17. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так как и , то по (146)

Найдем по этой формуле

И так далее, все остальные

Подставляем полученные в решение (145)

или

▲

Задания для самостоятельной работы

Решить задачи Коши для уравнения теплопроводности

30. . 31. .

32. . 33. .

34. . 35. .

36. . 37. .

38. . 39. .

40. .

41. .

Дата добавления: 2014-10-22