Виды случайных величин

Случайные величины

Определение 2.1. Случайной называют переменную величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 2.1. Количество дней в месяце является величиной переменной, но не случайной, т.к. зная номер месяца, можно указать значение этой величины. Дневная температура воздуха является случайной величиной, потому что, даже если известен прогноз гидрометеоцентра, нельзя заранее точно сказать какое значение она примет.

Для обозначения случайных величин используют прописные буквы из конца латинского алфавита (X, Y, Z и т.д.) или строчные буквы греческого алфавита (h, x, z, c и т.д.). Возможные значения случайных величин, как правило, обозначают строчными латинскими буквами с индексами (x ₁, x ₂, x ₃, y, z и т.д.).

Пример 2.2. Стрелок делает три выстрела по мишени. Величина X – число попаданий в мишень. Поскольку, каким бы метким не был стрелок, он может все три раза промахнуться либо попасть один раз, либо два, либо все три, причем исход опыта заранее неизвестен, X - случайная величина, принимающая одно из следующих значений: x ₁ = 1, x ₂ = 2, x ₃ = 3, x ₄ = 0.

Пример 2.3. Автомобиль начинает тормозить в некоторый момент времени. Величина Y - расстояние, которое он проедет до полной остановки, является случайной, т.к. зависит от большого числа факторов (от скорости, с которой двигался автомобиль, от состояния дорожного покрытия, от технического состояния автомобиля и т.д.), влияние которых на значение Y нельзя учесть полностью. Она принимает любое значение из промежутка [ a, b ], где a - минимальная возможная, а b – максимальная возможная длины тормозного пути в рассматриваемом опыте.

Связь между случайными величинами и случайными событиями. Событие является качественной характеристикой случайного результата опыта. Случайные величины служат для количественной характеристики случайного результата опыта. С каждым событием A можно связать некоторую случайную величину. Например, при однократном подбрасывании кубика можно искать вероятность события A – выпадет 6 очков, либо вероятность того, что случайная величина X – количество выпавших очков – примет значение x = 6. Оперирование с понятием случайной величины в ряде случаев бывает более удобным, чем оперирование со случайными событиями.

Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, можно выделить два основных типа: дискретные и непрерывные.

Определение 2.2. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные значения.

Множество возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным.

Пример 2.4. Случайная величина X из примера 2.2 является дискретной с конечным множеством значений.

Пример 2.5. Подбрасывают монету до появления орла. Случайная величина Z – число подбрасываний монеты, которые нужно провести до окончания опыта. Данная величина является дискретной со счетным множеством значений: z ₁ = 1, z ₂ = 2, …, z_k = k, …, т.к. в худшем случае опыт может проводиться сколь угодно долго.

Определение 2.3. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого ограниченного или неограниченного промежутка.

Множество возможных значений непрерывной случайной величины несчетно.

Пример 2.6. Случайная величина Y из примера 2.3 является непрерывной. В отличие от дискретных случайных величин X и Z из предыдущих примеров, ее значения нельзя перенумеровать, т.е. указать какое из них считать первым, какое вторым и т.д. Дневная температура воздуха также является непрерывной случайной величиной.

Дата добавления: 2014-10-22