Равномерный

Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины

Функция распределения случайной величины является ее исчерпывающей вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины в окрестностях различных точек дается функцией, которая называется плотностью распределения вероятности.

Определение 2.6. Плотностью распределения вероятности (дифференциальным законом распределения) непрерывной случайной величины X называют первую производную ее функции распределения. Обозначение: f (x).

По определению

f (x) = F ¢(x).

Следовательно, функция распределения непрерывной случайной величины X является первообразной для ее плотности распределения, т.е.

.

(2.3)

Вероятностный смысл плотности распределения f (x) состоит в том, что она указывает на то, как часто случайная величина X принимает значения из некоторой окрестности точки x при повторении опытов.

Кривая, изображающая плотность распределения f (x) случайной величины, называется кривой распределения.

Для описания распределения вероятности дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Свойства плотности распределения

1. f (x) ³ 0.

2. P(a < X < b) =.

3..

Следствие 2.4. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

.

Пример 2.9. Известна функция распределения F (x) непрерывной случайной величины X

Найти плотность вероятности f (x), построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей. Вычислить P(0,4 £ X < 1,2).

Решение. Воспользуемся определением 2.6. Именно

f (x) = F ¢(x) =

Следовательно,

Графики функции распределения F (x) и плотности распределения вероятностей f (x) изображены на рис. 2.3 и 2.4 соответственно.

Найдем P(0,4 £ X < 1,2), используя свойство 2 плотности вероятности.

P(0,4 £ X < 1,2) = = = sin1,2 – sin0,4» 0,54.

Рис. 2.3.

Рис. 2.4.

Пример 2.10. Известна плотность вероятности f (x) непрерывной случайной величины X

Найти функцию распределения F (x).

Решение. Для отыскания функции распределения F (x) воспользуемся формулой (2.3). Возможны следующие случаи.

а) x < -1

Тогда

= = 0.

б) -1 £ x £ 1

В этом случае

= + = 0 + 1,5 = 0,5 x ³ + 0,5.

в) x > 1

Здесь

= + + = 0 + 1,5 + 0 = 0,5 + 0,5 = 1.

Следовательно, функция распределения F (x) имеет вид

Наиболее часто встречаются следующие законы распределения непрерывной случайной величины:

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все ее возможные значения, плотность вероятности сохраняет постоянное значение.

Используя определения и свойства функции и плотности распределения, можно получить для равномерного закона распределения

На рис. 2.5 и 2.6 изображены графики плотности распределения вероятностей и функции распределения случайной величины, распределенной равномерно.

Рис. 2.5.

Рис. 2.6.

При равномерном распределении случайной величины все ее возможные значения равновероятны. Такие величины встречаются, например, в измерительной практике. Ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления является случайной величиной, имеющей равномерное распределение.

Дата добавления: 2014-10-22