Функция распределения вероятностей случайной величины

Ряд распределения – представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:

§ Атрибутивными – называют ряды распределения, построенные по качественными признакам.

§ Ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака называются вариационными.

Вариационный ряд распределения состоит из двух столбцов:

В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами и обозначаются. Дискретная варианта – выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд. Во втором столбце содержится количество конкретных вариант, выраженное через частоты или частости:

Частоты – это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака, которые обозначают. Сумма всех частот равна должна быть равна численности единиц всей совокупности.

Частости ()– это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).

Например, гистограмма распределения населения России в 1997 г. по возрастным группам.

Все население	В том числе в возрасте
	до 10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70 и старше	Всего
Численность населения	12,1	15,7	13,6	16,1	15,3	10,1	9,8	7,3	100,0

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания неприменим для непрерывных случайных величин. В силу этого желательно иметь такую характеристику распределения вероятности, которая была бы применима для самых разнообразных случайных величин.

Наиболее общей формой закона распределения случайной величины является функция распределения.

Пусть X - случайная величина, x – произвольное действительное число.

Определение 2.5. Вероятность того, что X примет значение, меньшее, чем x, называется функцией распределения (интегральным законом распределения) вероятностей случайной величины X. Обозначение: F (x).

По определению

F (x) = P(X < x).

Используя понятие функции распределения вероятностей случайной величины, можно дать определение непрерывной случайной величины, отличное от определения 2.3.

Определение 2.6. Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения вероятностей есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства функции распределения

1. 0 £ F (x) £ 1.

2. F (x) – неубывающая функция.

Следствие 2.1. P(a £ X < b) = F (b) – F (a).

Следствие 2.2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение равна 0.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то F (x) = 0 при x £ a и F (x) = 1 при x ³ b.

Следствие 2.3. Если возможные значения непрерывной случайной величины распределены по всей оси x, то справедливы следующие предельные соотношения:

,.

4. Функция распределения непрерывна слева.

Замечание 2.1. Если X – непрерывная случайная величина, то с учетом следствия 2.2. справедливы равенства

P(a £ X < b) = P(a < X £ b) = P(a £ X £ b) = P(a < X < b).

Пример 2.8. Найти функцию распределения для дискретной случайной величины X из примера 2.7, построить ее график. Вычислить P(0,1 £ X < 1,5).

Решение. Ряд распределения случайной величины X из примера 2.7 имеет вид

X
p	0,02	0,26	0,72

Воспользуемся определением 2.5. Возможны следующие случаи:

а) Если действительное число x будет принимать значения, не превосходящие наименьшего возможного значения X, т.е. x £ 0, то событие X < x является невозможным. Следовательно, в этом случае F (x) = P(X < x) = 0.

б) Если же число x принимает значения, большие наименьшего возможного значения X и не превосходящие следующего значения этой величины, т.е. 0 < x £ 1, то событие { X < x } = { X = 0}. Следовательно, в этом случае F (x) = P(X < x) = P(X = 0) = 0,02.

в) В тех случаях, когда x ₂ < x £ x ₃, т.е. 1 < x £ 2, событие { X < x } = { X = 0}+{ X = 1}. Поэтому F (x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,02 + 0,26 = 0,28.

г) При значениях x, превышающих наибольшее возможное значение X, т.е. при x > 2, событие { X < x } = { X = 0} + { X = 1} + { X = 2} является достоверным. Поэтому в этом случае F (x) = P(X < x) = 1.

Таким образом, функция распределения случайной величины X имеет вид

На рис. 2.2 изображен график функции F (x).

Рис. 2.2.

Используя следствие 2.1 к свойству 2 функции распределения, найдем вероятность события 0,1 £ X < 1,5.

P(0,1 £ X < 1,5) = F (1,5) - F (0,1) = 0,28 – 0,02 = 0,26.

Дата добавления: 2014-10-22