Среднее квадратическое отклонение. Дисперсией D(X) случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Дисперсия

Дисперсией D(X) случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

D(X) = M(X - M(X))².

Дисперсию используют для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Свойства дисперсии случайной величины:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2.7. Дисперсия суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2.8. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины.

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

При вычислении дисперсии случайной величины можно воспользоваться формулой

D(X) = M(X ^2) - M(X)^2,

(2.6)

справедливость которой нетрудно показать с использованием свойств математического ожидания. При этом необходимо учесть, что если X - дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, то

M(X ^2) =.

(2.7)

Если же X - непрерывная случайная величина, возможные значения которой принадлежат отрезку [ a, b ], а плотность вероятности равна f (x), то

M(X ^2) =.

(2.8)

Пример 2.13. Найти дисперсию случайной величины X из примера 2.11.

Решение. Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой (2.6). Найдем M(X ²) по формуле (2.7). Получим

M(X ²) = (-2)²×0,1 + (-1)²×0,3 + 0²×0,2 + 1²×0,4 = 1,1.

Как было показано ранее (пример 2.11), M(X) = -0,1. Тогда

D(X) = 1,1 – (-0,1)² = 1,09.

Пример 2.14. Найти дисперсию случайной величины X из примера 2.12.

Решение. Для вычисления дисперсии, как и прежде, воспользуемся формулой (2.6). Найдем M(X ²) по формуле (2.8). Получим

M(X ²) = = = =.

Ранее показали (пример 2.12), что M(X) = 0. Следовательно,

D(X) = - 0² =.

Можно показать справедливость следующих равенств:

Закон распределения случайной величины X	Числовые характеристики
биномиальный	M(X) = np, D(X) = npq
Пуассона	M(X) = np, D(X) = np
равномерный	M(X) =, D(X) =
нормальный	M(X) = a, D(X) = s^2
показательный	M(X) =, D(X) =

Средним квадратическим отклонением s (X) случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии этой случайной величины, т.е.

s (X) =.

(2.9)

Среднее квадратическое отклонение случайной величины, как и дисперсия, служит для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Пример 2.15. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины X из примера 2.11.

Решение. Поскольку D(X) = 1,09 (см. пример 2.13), используя (2.9), получим

s (X) =» 1,044.

Пример 2.16. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины X из примера 2.12.

Решение. Воспользуемся (2.9) и ранее полученным результатом (пример 2.14) D(X) = =. Получим

s (X) =» 0,707.

Дата добавления: 2014-10-22