Математическая статистика

Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей. Являясь тесно связанной с теорией вероятности, которая выводит из математической модели свойства реального процесса, математическая статистика устанавливает свойства математической модели, исходя из данных наблюдений («статистических данных»). Поэтому предмет математической статистики – изучение случайных величин (или случайных событий, процессов) по результатам наблюдений.

Результаты исследования статистических данных методами математической статистики используются для принятия решений (в задачах планирования, управления, прогнозирования и организации производства, при контроле качества продукции, при выборе оптимальных решений в технических задачах и т. д.). Говорят, что «математическая статистика – это теория принятия решений в условиях неопределённости».

Сформулируем некоторые определения.

1. Совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех мыслимых наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом, называется генеральной совокупностью.

2. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

3. Число объектов (наблюдений) в совокупности, генеральной или выборочной, называется её объёмом.

4. Конкретные значения выборки, полученные в результате наблюдений (испытаний), называют реализацией выборки.

Для получения хороших оценок характеристик генеральной совокупности необходимо, чтобы выборка была репрезентативной (или представительной), то есть достаточно полно представлять изучаемые признаки генеральной совокупности.

Различают выборки с возвращением (повторные) и без возвращения (бесповторные).

В первом случае отобранный объект возвращается в генеральную совокупность перед извлечением следующего, во втором – нет. На практике чаще используют бесповторную выборку. Если объём выборки значительно меньше объёма генеральной совокупности, различие между повторной и бесповторной выборками очень мало.

Опишем числовые характеристики статистического распределения, аналогичные тем, которые в теории вероятностей определялись для случайных величин.

1) Пусть статистическое распределение выборки объёма n имеет вид:

xi	x1	x2	x3	…	xk
ni	n1	n2	n3	…	nk

Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки

2) Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней, то есть

3) Выборочное среднее квадратическое отклонение выборки определяется формулой

4) При решении практических задач используется величина

или

которая называется исправленной выборочной дисперсией.

5) Величина

называется исправленным выборочным средним квадратическим отклонением.

Статистической оценкой (или просто оценкой) параметра теоретического распределения называют его приближённое значение, зависящее от выбора.

Качество оценки определяют, проверяя, обладает ли она свойствами несмещённости, состоятельности, эффективности.

Оценка параметра называется несмещённой, если. Если, то оценка называется смещённой. Требование несмещённости особенно важно при малом числе наблюдений (опытов).

Оценка параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

то есть для любого выполнено

Это означает, что с увеличением объёма выборки мы всё ближе приближаемся к истинному значению параметра, то есть практически достоверно.

Несостоятельные оценки не используются.

Неравенство Чебышева для случайной величины для любого

Поскольку вероятность любого события не превышает 1, получаем

то есть состоятельная оценка параметра.

Несмещённая оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещённых оценок параметра, то есть оценка эффективна, если её дисперсия минимальна.

На практике часто приходится вычислять вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в интервал, симметричный относительно центра рассеяния а. Пусть таким интервалом будет (а-l, a+l) длины 2l. Тогда

то есть

Важный вывод: практически достоверно, что с. в. принимает свои значения в промежутке (). Это – «правило трёх сигм».

Дата добавления: 2014-10-22