Основные понятия теории вероятностей

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

МОДУЛЬ 5

И

Определение 1.1. Опытом (испытанием) называется действие, совершаемое при определенном комплексе условий.

Определение 1.2. Событие (явление) – результат опыта.

Наблюдаемые события подразделяют на достоверные, невозможные и случайные.

Определение 1.3. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате данного опыта.

Определение 1.4. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в данном опыте.

Определение 1.5. Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

Для обозначения случайных событий обычно используют прописные буквы из начала латинского алфавита: A, B, C, D и т.д.

Пример 1.1. Опишем условия опыта. В урне находится 8 кубиков: три красных и пять зеленых. Кубики имеют одинаковые размеры и отличаются только цветом. Из урны наудачу вынимают один кубик. Опишем возможные события: A – вынутый кубик оказался синим, B – вынутый кубик оказался зеленым, C – вынутый кубик оказался или красным, или зеленым. Нужно определить какое из событий A, B и C является достоверным, какое невозможным, а какое случайным.

Решение. Поскольку в урне нет синих кубиков, значит вынуть из нее синий кубик нельзя. Следовательно, событие A является невозможным. С другой стороны, любой вынутый из урны кубик будет либо красным, либо зеленым. Значит, событие C всегда будет иметь место, т.е. оно достоверное. Событие B является случайным, т.к. из урны наудачу можно вынуть кубик только одного из двух цветов: красный или зеленый. Причем, заранее неизвестно, какой именно. Следовательно, вынутый кубик может оказаться зеленым, а может и не быть таким (если вынут красный кубик).

Каждое случайное событие есть следствие действия очень многих случайных причин. Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, т.к. число их велико и законы их действия неизвестны. Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет.

Теория вероятностей занимается изучением не всех событий, которые в житейской практике называют случайными, а только тех из них, которые обладают следующими свойствами: а) могут быть осуществлены неограниченное число раз, притом в неизменных условиях; б) обладают так называемой статистической устойчивостью (устойчивостью частот).

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Знание этих закономерностей позволяет предвидеть (сделать прогноз), как будут протекать соответствующие опыты.

Выделяют следующие виды случайных событий:

1. Совместные (несовместные) случайные события.

Определение 1.6. События A и B называют несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае их называют совместными.

Пример 1.2. Стрелок делает один выстрел по мишени. Рассмотрим события: A – стрелок попал в цель, B – стрелок промахнулся. Они являются случайными, т.к. стрелок, каким бы метким он не был, может как попасть в цель, так и промахнуться. Кроме того, A и B не совместны, поскольку при одном выстреле стрелок не может попасть и промахнуться одновременно.

Пример 1.3. Стрелок делает два выстрела по мишени. Введем следующие события: A – при первом выстреле стрелок попал в цель, B – при втором выстреле стрелок попал в мишень. Эти события являются случайными и совместными, т.к. стрелок оба раза может попасть в цель.

2. Зависимые (независимые) случайные события.

Определение 1.7. События A и B называют независимыми, если появление одного из них не влияет на возможность появление другого в одном и том же испытании. В противном случае их называют зависимыми.

Пример 1.4. В примере 1.3 события A и B являются независимыми, поскольку если стрелок при первом выстреле попал в цель (событие A произошло), это не означает, что во второй раз он промахнется (событие B не произойдет) или, наоборот, попадет в мишень (событие B появится).

3. Полная группа событий.

Определение 1.8. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Пример 1.5. В примере 1.2 события A и B образуют полную группу, т.к. описывают все возможные исходы опыта. В примере 1.3 события A и B полную группу событий не образуют, поскольку учтены не все случаи. Например, стрелок может промахнуться при первом выстреле.

Пример 1.6. Игральная кость подбрасывается один раз. События A_i – число выпавших очков равно i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – образуют полную группу. Кроме того, полную группу событий в этом опыте образуют, например, следующие события: В₁ – четное число выпавших очков, В₂ – нечетное число выпавших очков. События В₁ и В₂ также описывают все возможные исходы данного опыта.

4. Противоположные события.

Определение 1.9. Два несовместных события, образующих полную группу, называют противоположными.

Противоположные события являются взаимоисключающими.

Событие, противоположное для события A, обозначают.

Пример 1.7. В примере 1.2 события A и B являются противоположными, поскольку если событие A не произойдет, то обязательно появится событие B (если стрелок не попал в цель, значит, он промахнулся). В примере 1.3 события A и B противоположными не являются, т.к. они не образуют полную группу, не являются взаимоисключающими (если при первом выстреле стрелок промахнулся, это не означает, что при втором выстреле он попадет в цель).

Пример 1.8. Монету подбрасывают один раз. A - выпал орел. Противоположным для него будет событие - выпала решка, если не учитывать случай, когда монета встает на ребро.

5. Равновозможные случайные события.

Определение 1.10. События называют равновозможными, если нет оснований считать ни одно из них более возможным.

Пример 1.9. В примере 1.2 события A и B могут как быть равновозможными (стрелок попадает в цель и промахивается одинаково часто), так и не быть ими (например, стрелок попадает в цель чаще, чем промахивается). Это должно дополнительно обговариваться в условиях опыта. В примере 1.3, как правило, считают, что события A и B равновозможны (меткость стрелка одинакова при обоих выстрелах). Если они неравновозможны (например, стрельба ведется по удаляющейся цели), то это указывают в условиях опыта.

Пример 1.10. Если игральная кость правильная (центр тяжести не смещен к одной из ее граней), то нет оснований считать, что какая-то из ее граней будет выпадать чаще других. В этом случае при каждом подбрасывании кубика события A_i – число выпавших очков равно i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – являются равновозможными.

Одним из наиболее важных в теории вероятностей является понятие вероятности случайного события.

Под вероятностью случайного события, как правило, понимают степень его объективной возможности, выраженную числом. Иными словами, вероятность – число, характеризующее степень возможности появления события в испытании.

Поскольку природа случайных событий очень разнообразна, не существует единого подхода к подсчету их вероятностей. Приведем возможные способы определения вероятности случайных событий.

1. Классическое определение вероятности случайного события

Задача 1. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них – белые, 3 – синие и 1 красный. Из урны наудачу извлекают один шар. Событие A – вынутый шар оказался не белым (т.е. синим или красным). Дадим количественную оценку возможности появления события A, т.е. найдем его вероятность.

Поскольку все шары одинаковы и неразличимы по форме и размеру, наугад можно вынуть любой из них. Пронумеруем шары. Тогда исходом опыта может быть одно из следующих событий:

w ₁ – вынули 1-ый белый шар,

w ₂ – вынули 2-ой белый шар,

w ₃ – вынули 1-ый синий шар,

w ₄ – вынули 2-ой синий шар,

w ₅ – вынули 3-ий синий шар,

w ₆ – вынули красный шар.

Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом. Эти исходы попарно несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Заметим, что событие A не является элементарным. Оно произойдет при появлении одного из элементарных исходов w ₃ - w ₆ (все равно какого). Такие элементарные исходы называют благоприятствующими событию A.

Для ответа на поставленный в задаче вопрос воспользуемся следующим определением.

Определение 1.11. Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Таким образом, вероятность события A может быть вычислена по формуле

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию A, n – число всех равновозможных несовместных элементарных исходов опыта, образующих полную группу.

В рассматриваемой задаче общее число равновозможных несовместных элементарных исходов опыта, образующих полную группу, равно 6, из них событию A благоприятствуют 4. Следовательно, вероятность того, что наугад будет вынут синий или красный шар, равна

Из определения 1.11 вытекают следующие свойства вероятности:

1. вероятность невозможного события равна 0;

2. вероятность достоверного события равна 1;

3. вероятность случайного события равна числу из интервала (0,1).

Следовательно, для любого события A 0 £ P(A) £ 1.

Пример 1.11. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона. Найти вероятность того, что, набирая последнюю цифру наудачу, он угадает номер с первого раза.

Решение. Всего возможностей 10: цифры от 0 до 9. Причем выбор любой цифры равновозможен. Благоприятствующим является выбор только одной цифры. Поэтому вероятность события A – абонент угадал номер с первого раза – равна

Замечание 1.1. Классическое определение вероятности события A обладает рядом недостатков. Во-первых, оно предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же нередко встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно, и, следовательно, к ним не применимо классическое определение. Во-вторых, очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий либо трудно указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Поэтому наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения.

Дата добавления: 2014-10-22