Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Законы распределения вероятностей случайных величин

Для того, чтобы описать случайную величину, прежде всего, необходимо знать те значения, которые она может принимать. Однако одного перечня значений случайной величины еще не достаточно, чтобы по ним можно было делать какие-либо существенные выводы. Например, о меткости стрелка нельзя судить только по разбросу значений выбиваемых им очков. Для задания случайной величины необходимо знать не только, какие значения она может принимать, но и как часто, т.е. с какой вероятностью эти значения появляются.

Определение 2.4. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Зная распределение вероятности между возможными значениями случайной величины, можно до опыта судить о том, какие значения случайной величины будут появляться чаще, а какие реже.

Способы и формы представления закона распределения случайной величины могут быть различными.

Простейшей формой задания закона распределения вероятностей дискретной случайной величины X является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. Такая таблица носит название ряда распределения случайной величины.

Пусть дискретная случайная величина X принимает конечное число возможных значений x ₁, x ₂,…, x_n. Тогда ее ряд распределения имеет вид

X	x 1	x 2	…	xn
p	p 1	p 2	…	pn

Причем, т.к. события X = x ₁, X = x ₂,…, X = x_n несовместны и образуют полную группу, согласно следствию 1.2,

P(X = x ₁) + P(X = x ₂) + … + P(X = x_n) = 1

или

p 1 + p 2 +…+ pn = 1.

(2.1)

Если множество возможных значений дискретной случайной величины X счетно, ее ряд распределения можно представить в виде

X	x 1	x 2	…	xn	…
p	p 1	p 2	…	pn	…

При этом ряд = p ₁ + p ₂ +…+ p_n +… сходится и его сумма равна 1.

Для наглядности ряд распределения представляют графически. В этом случае в прямоугольной системе координат строят точки (x_i, p_i) (x_i – возможные значения случайной величины, p_i – соответствующие им вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины. Кроме того, закон распределения может быть задан формулой.

Пример 2.7. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,9, второго – 0,8. Дискретная случайная величина X – суммарное число попаданий в мишень. Построить ряд распределения и многоугольник распределения случайной величины X.

Решение. Случайная величина X может принимать следующие значения: x ₁ = 1 (один из стрелков попал в мишень, а второй промахнулся), x ₂ = 2 (оба стрелка попали в мишень), x ₃ = 0 (оба стрелка промахнулись). Найдем вероятности этих значений. Обозначим через A событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в мишень, а через B событие, состоящее в том, что второй стрелок попал в мишень. Тогда, используя независимость событий A и B, получим

P(X =1) = P(A + B) = P(A)P() + P()P(B) = 0,9×0,2 + 0,1×0,8 = 0,26;

P(X =2) = P(AB) = P(A)P(B) = 0,9×0,8 = 0,72;

P(X =0) = P() = P()P() = 0,1×0,2 = 0,02.

Запишем ряд распределения случайной величины X, при этом ее значения укажем в порядке возрастания.

X
p	0,02	0,26	0,72

Поскольку

0,02 + 0,26 + 0,72 = 1,

построенная таблица задает закон распределения случайной величины X.

Изобразим многоугольник распределения данной случайной величины (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Наиболее часто встречаются следующие законы распределения дискретной случайной величины:

Дата добавления: 2014-10-22