Линейные операции над векторами

Определение. Вектором в математике принято называть направленный отрезок.

Обозначают вектор либо , либо , если использовать его начало А и конец В (порядок букв в записи не нарушать).

Вектор характеризуют направлением и длиной (модулем). Последний обозначают или просто АВ.

В приложениях векторной алгебры используют три вида векторов: сободные (только они изучаются в данном разделе), которые остаются неизменными при параллельном переносе; скользящие (физика), которые можно перемещать только вдоль их линии приложения и связанные (теоретическая механика), которые рассматривают только для точки их приложения.

Для свободных справедливо =, если точки А и С совпадают как и точки В и D. Фактически, это – определение равных векторов.(действие, операция равенства).

Договоримся (определим) называть суммой двух векторов вектор, соединяющий начало одного слагаемого с концом второго, при условии, что начало второго совпадает с концом первого(правило треугольника).

Можно определить сумму векторов по правилу параллелограмма. Первое определение оказывается более удобным при суммировании большого числа векторов. Оно же удобно при построении векторных диаграмм при расчете электрических цепей переменного тока.

Противоположными будем называть векторы, совпадающие своими концами, но направленные в разные стороны.

Если векторы расположены параллельно одной прямой, то их называют коллинеарными.

Произведением вектора на константу с называют вектор, модуль которого равен с и который коллинеарен вектору . При этом при положительном с направления и с совпадают, при отрицательном – направления противоположны.

Определение. Линейной комбинацией векторов называют выражение =+++…+. - некоторые действительные константы. Это - обобщение линейных операций.

Определение. Векторы называют линейно-независимыми, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.

В противном случае векторы называют линейно-зависимыми. В этом случае один из них можно представить линейной комбинацией остальных, т.к. уравнение +++…+=0 оказывается разрешимым относительно вектора, перед которым записан ненулевой коэффициент.

Определение. Множество линейно-независимых ненулевых векторов называют векторным базисом.

В этом случае имеется возможность любой вектор, который не входит в базис представить линейной комбинацией базисных векторов. Коэффициенты такой линейной комбинации называют координатами вектора в данном базисе. Для пространства и плоскости такое действие в физике называют разложением вектора по направлениям составляющих векторов. В математике – разложением по базису (в базисе) Рис 2.1.

Рис. Разложение вектора в базисе и.

Если анализировать разложение на Рис 2.1, то видно, что =, а = из условия коллинеарности. И тогда по правилу параллелограмма при суммировании получаем =+=+ - о чем и было сказано выше.

Наиболее простым и широко распространенным является декартов базис – три взаимно перпендикулярных вектора ,,, такие что ===1. Если с этими векторами связать соответственно координатные оси Ох, Оу,Oz и расположить их общее начало в точке О, то и будет получен декартов базис. Это очень удобно, т.к. термин “координаты векторa” в таком базисе совпадает с термином “координаты точки”. Следует быть осторожным в использовании этих терминов, т.к. оба они полностью совпадают только для радиуса-вектора , начало которого всегда в точке О. В новых терминах запишем обозначение вектора в декартовом базисе =a_x+a_y+a_z. Или в компактном виде

(a_x;a_y;a_z)

Используя разложение вектора в декартовом базисе (далее будем говорить – координатную форму вектора или просто координаты вектора), найдем модуль вектора как диагональ прямоугольного параллелепипеда =. А, используя действие умножения вектора на действительное число, получим единичный вектор направления вектора . Его обозначим . И он равен = (a_x+a_y+a_z)=Cos+Cos +Cos. Координаты единичного вектора называют направляющими косинусами. Направляющие косинусы обладают важным свойством

Cos²+Cos² +Cos²=1, т.к. сумма слева есть длина единичного вектора. Это свойство обобщает известное основное тригонометрическое тождество.

Отметим попутно важное практическое правило – линейные операции, выполняемые над векторами, эквивалентны тем же операциям, выполненным над соответствующими координатами векторов.

Это правило удобно применять, если возникает вопрос о том, будет ли данный набор векторов образовывать базис, а также при разложении вектора, заданного в декартовом базисе по произвольному базису из векторов, заданных своими декартовыми координатами.

Дата добавления: 2014-10-23