Лабораторна робота 3

Завдання.

Контрольні питання.

1. З яких етапів складається знаходження наближених коренів рівняння методом дихотомії?

2. В чому полягає алгоритм методу дихотомії?

3. Чи можливо знайти наближений корінь методом дихотомії вже на першому кроці?

4. Як виглядають формули методу дихотомії в Excel, якщо дана функція f (x) є спадною?

5. Як виглядають формули методу дихотомії, якщо дана функція f (x) має максимум?

6. Якщо зміна значень послідовних ітерацій методу дихотомії припинилась, то чи є це відповідь, тобто наближений корінь даного рівняння з даною точністю?

7. Чи можливо не знайти методом дихотомії правильної відповіді, не зробивши жодної помилки?

Знайти відрізки ізоляції коренів даного рівняння на відрізку [– 10; 10] і розв’язати його на кожному з цих відрізків методом дихотомії з точністю e = 0,5*10^-6.

№	Рівняння
	2^x + 5x – 3 = 0
	x^2+ 4sin x – 1= 0
	x^2- 20sin x – 1= 0
	3x – cos x –1 = 0
	сtg x – 0.5x = 0
	2^x (x-2)^2 – 1 =0
	x^2– cos x= 0
	(x - 3)cos x– 1 = 0
	x^3 – 3x^2 – 24x – 5 =0
	x^3– 2x – 5 = 0

Література:

1. Бахвалов Н.С. Численные методы – М: Наука, 1973. т. 1. – 631с.
2. Вейцбліт О.Й. Основи чисельних методів математики (з використанням Excel) – Херсон: Видавництво ХДУ, 2011. – 280 с.
3. Лященко М.Я., Головань М.С., Чисельні методи – К: Либідь, 1996 – 288с.

(2г.)

Тема: метод простої ітерації (стаціонарний ітераційний метод).

Мета: Отримати відомості про метод простої ітераціїобчислення кореня на

відрізку ізоляції з наперед заданою точністю та навчитися застосовувати

цей метод до конкретних задач.

Теоретичні відомості.

Згідно з методом простої ітерації,задане рівняння f (x) = 0 замінюють на еквівалентне х = φ(х), де φ(х) = х – λ f (x), а λ – дійсна стала (λ ≠ 0) і обчислюють ітерації х_n+1 = φ(х_n).

Теорема. Нехайфункція f (x) диференційовна на відрізку ізоляції її кореня з незмінним там знаком f ′ (x). Тоді найефективнішім (тобто найшвидшім) збіг ітерацій х_n+1 = φ(х_n) з φ(х) = х – λ f (x) на відрізку до кореня рівняння f (x) = 0 буде за умов

1) │λ│= 1/М₁, де М₁ = , 2) > 0.

Якщо і знак f′′ (x) є незмінним на відрізку ізоляції (тобто якщо функція f ′(x) монотонна на ), то М₁ = max,. Якщо на відрізку ізоляції кореня знак f′′ (x) змінюється, то такий відрізок ізоляції треба зменшити.

Отже, застосовувати метод простої ітерації будемо за умови, що знак першої та другої похідних функції f (x) є незмінними на відрізку ізоляції кореня , а λ оберемо так, що

1) │λ│= 1/М₁, де М₁ = max,, 2) > 0;

тоді за початкову точку методу простої ітерації можна обрати довільну точку з .

Хід роботи.

Задача. Знайти відрізки ізоляції коренів рівняння f (x) = 2 ∙ sin x – x² + 2 = 0 на [– 2; 3] і розв’язати його на кожному з цих відрізків методом простої ітерації з точністю e = 0,5*10^-5.

1. Відокремлення коренів рівняння f (x) = 2 ∙ sin x –x² + 2= 0 на відрізку [–2; 3]

комбінованим методом розглядалося уже в лабораторній роботі 1. У якості відрізків ізоляції коренів тут візьмемо [–1; – 0,6] і [1,8; 2,2].

2. Умови застосовування методу.

Незмінність знаку першої похідної на відрізках ізоляції була перевірена в лабораторній роботі 1. Друга похідна f′′ (x) = – 2 ∙ sin x – 2 ≤ 0 при всіх х.

3. Знайдемо заміну φ_i(х) = х – λ_i f (x) для кожного з відрізків i = 1, 2.

При i = 1 = [–1; – 0,6], М₁ = max,= │ f′ (–1)│≈ 3,08, λ₁ = 1/М₁ ≈ 0,32, φ₁(х) = х – 0,32∙(2sinx – x² + 2).

При i = 2 = [1,8; 2,2], М₁ = max, = │ f′ (2,2)│≈ 5,57, λ₂ = – 1/М₁ ≈ – 0,18 (оскільки > 0, а f′ (x) < 0 на [1,8;2,2]), φ₂(х) = х + 0,18∙(2sinx–x²+2).

4. Знайдемо корені на відрізках ізоляції з точністю e = 0.5*10^-5 методом простої ітерації.

При i = 1 = [–1; – 0,6], λ₁ ≈ 0,32, φ₁(х) = х – 0,32∙(2sinx – x² + 2). За початкову точку методу простої ітерації можна обрати довільну точку з , наприклад а = – 1. Надамо чарункам електронної таблиці таких значень:

	A	B	С
	– 1	= 2 ∙ sin(А1) – А1^2 + 2	0,32
	= A1 – $C$1*B1	↓
	↓	↓

Тут у А1 початкова точка а = – 1, у В1 значення функції f (x) при х = А1, у С1 значення λ₁, у А2 перша ітерація φ₁(х) = х – λ₁∙ f (x) при х = А1. Символ ↓ означає копіювання попередніх чарунок. В результаті отримаємо таку таблицю:

	A	B	C
	-1	-0,68294197	0,32
	-0,78145857	-0,019308672
	-0,775279795	-0,000890639
	-0,77499479	-4,16322E-05
	-0,774981468	-1,94725E-06
	-0,774980845	-9,10811E-08
	-0,774980816	-4,26025E-09
	-0,774980814	-1,9927E-10
	-0,774980814	-9,32099E-12
	-0,774980814	-4,36096E-13

Як бачимо, починаючи з рядка 8 у стовбці А зміна значень припиняється: досягнуто найбільш точне значення кореня, яке тільки можливе при даному форматі чарунки, тобто при максимально можливому у чарунці числі значущих цифр [2].

Перевірка.

Перевіримо правильність отриманого розв’язку безпосередньо. А саме надамо чарункам таких значень:

	A	B	C
	= B10 + 0,5*10^-^5
	= B10 – 0,5*10^-^5

У стовпці В значення функції f (x) приймаються автоматично. В результаті отримаємо:

	A	B	C
	-0,774980814	-4,36096E-13
	-0,774975814	1,48941E-05
	-0,774985814	-1,48942E-05

Оскільки f (– 0,774980814 + 0,5*10^-5) > 0, a f (– 0,774980814 – 0,5*10^-5) < 0, то відмінність значення – 0,774981 від точного значення кореня не перевищує e = 0,5*10^-5, тобто це значення є коренем рівняння f (x) = 0 з точністю 0,5*10^-5.

Другий випадок є аналогічним: при i = 2 = [1,8; 2,2], λ₂ ≈ – 0,18, φ₂(х) = х + 0,18∙(2sinx–x²+2). За початкову точку методу простої ітерації обираємо а = 1,8. Треба лише в попередній електронній таблиці замінити значення у чарунках А1 і С1:

	A	B	С
	1,8	= 2 ∙ sin(А1) – А1^2 + 2	– 0,18
	= A1 – $C$1*B1	↓
	↓	↓

В результаті отримаємо:

	A	B	C
	1,8	0,707695262	-0,18
	1,927385147	0,159372589
	1,956072213	0,027171069
	1,960963005	0,004315447
	1,961739786	0,000676925
	1,961861632	0,000105972
	1,961880707	1,65847E-05
	1,961883693	2,5954E-06
	1,96188416	4,06159E-07
	1,961884233	6,35605E-08
	1,961884244	9,94668E-09
	1,961884246	1,55657E-09
	1,961884246	2,43591E-10
	1,961884246	3,81204E-11

Зміна значень у стовпці А з максимальним можливим числом значущих цифр у чарунці припиняється у рядку 12.

Зробимо перевірку аналогічно:

	A	B	C
	1,961884246	3,81204E-11
	1,961889246	-2,34308E-05
	1,961879246	2,34308E-05

Тож значення 1,96188 є коренем рівняння f (x) = 0 з точністю 0,5*10^-5.

Дата добавления: 2014-10-31