Лабораторна робота 14

Завдання.

Контрольні питання.

1. Продовжить першу інтерполяційну формулу Ньютона f (x) ≈ L₃(x) =.

2. Продовжить другу інтерполяційну формулу Ньютона f (x) ≈ L₄(x) =.

3. Чи повинні зростати вузли в інтерполяційних формулах Ньютона для

рівновіддалених вузлів?

4. Чому дорівнює похибка інтерполяції R₅(f, x) першої інтерполяційної формули Ньютона?

5. Чому дорівнює залишковий член R₆(f, x) другої інтерполяційної формули Ньютона?

6. У розрахунках лабораторної роботи ніде не використане, що функція f (x) 9 разів неперервно диференційовна. Навіщо ця умова наведена в умові задачі?

7. Чи можна отримати наближення для f (1,1) і f (0,1) з більшою кількістю вірних значущих цифр лише на основі розрахунків цієї лабораторної роботи?

Задача. Оцінити похибку інтерполяції отриманої в лабораторній роботі 12, якщо вважати, що функція f (x) 8 разів неперервно диференційовна і до заданої там таблиці ще додано значення функції при х = 1

Варіант	значення функції
	f (1) = 1,99863
	f (1) = 1,165629
	f (1) = 1,235351
	f (1) = 4,09863
	f (1) = 1,065629
	f (1) = 1,165629
	f (1) = 1,258016
	f (1) = 1,09863
	f (1) = 4,165629
	f (1) = 1,835351

Література:

1. Бахвалов Н.С. Численные методы – М: Наука, 1973. т. 1. – 631с.
2. Вейцбліт О.Й. Основи чисельних методів математики (з використанням Excel) – Херсон: Видавництво ХДУ, 2011. – 280 с.
3. Лященко М.Я., Головань М.С., Чисельні методи – К: Либідь, 1996 – 288с.

(2г.)

Тема: однобічні формули чисельного диференціювання

Мета: Отримати відомості про методи чисельного диференціювання

та навчитися їх застосовуванню на конкретних прикладах.

Теоретичні відомості.

Нехай функцію f задано таблично в рівновіддалених точках х_i відрізка [a; b]: у_i = f (х_i) (і = 0, 1, …, n). Щоб знайти наближення похідної f ′(х₀), скористаємося горизонтальною таблицею скінчених різниць Δⁿу_i, побудованою за вузлами х_i. Тоді

f ′(х₀) ≈ L′_n(х₀) = (Δу₀ – Δ²у₀ + Δ³у₀ + … + Δⁿу₀), (1)

де h = x_i+1 – x_i (i = 0, 1, …, n – 1). Найпростіші формули (n = 1 та n = 2 у (1) відповідно)

f ′(х₀) ≈ Δу₀ = (f (х₁) – f (х₀)); f ′(х₀) ≈ (Δу₀ – Δ²у₀). (2)

Саме ці формули (1), (2) звичайно і називають однобічними формулами чисельного диференціювання.

Оцінимо похибки формул (1), (2). Абсолютна похибка чисельного диференціювання (залишковий член чисельного диференціювання)

ôR ′ _n(x, f)ô ≤ ≈ ôô. (3)

Слід зазначити, що зменшення похибки (3) шляхом зменшення h з огляду на нестійкість чисельного диференціювання призводить до збільшення обчислювальної похибки [2].

Хід роботи.

Задача 1. У точках 1) х = 1 та 2) х = 1,1 знайти похідну від функції , заданої таблицею на відрізку [1; 1,7] з кроком h = 0,1, скориставшись однобічними формулами чисельного диференціювання з n ≤ 5.

Розв’язання. Побудуємо спочатку горизонтальну таблицю скінчених різниць так само, як у задачі 1 лабораторної роботи 12:

	A	B	C	D	E	F	G	H
			-0,090909	0,0151515	-0,003497	0,000999	-0,000333	0,000125
		0,909091	-0,075758	0,011655	-0,002498	0,000666	-0,000208
		0,833333	-0,064103	0,0091575	-0,001832	0,000458
		0,769231	-0,054945	0,007326	-0,001374
		0,714286	-0,047619	0,0059524
		0,666667	-0,041667
		0,625

Тут у стовпці А номери i вузлів інтерполяції х_i = x₀ + h ∙ i, де x₀ = 1, h = 0,1, у стовпці В відповідні значення функції у_i = 1/х_i, які за означенням є скінченими різницями порядку 0. У чарунку С2 введена формула = В3 – В2, що обраховує значення скінченої різниці Δу₀, а потім ця формула копіюється на всю трикутну таблицю. В результаті скінчена різниця Δ^jу_i знаходиться у чарунці, що відповідає номеру i у стовпці А і номеру j у рядку 1.

1) Точка 1 розміщена на початку таблиці, тому похідну обчислюватимемо за формулою (1): у цьому разі х₀ = 1, h = 0,1, скінчені різниці Δ^jу₀ знаходяться у відповідних чарунках рядка 2. (Зауважимо, що зважаючи на (1), використання ще і шостого доданку – 1/6 ∙ Δ⁶у₀ = – 1/6 ∙ 0,000125 вплинуло би хіба що на п’яту значущу цифру).

Побудуємо таблицю для підрахунку f ′(х₀) згідно з (1). Надамо чарункам електронної таблиці таких значень:

	A	B	C	D	E	F
	n
	(–1)^(n+1)/n	= (–1)^C11/B11	→	→	→	→
	un(x)	= C2*B12	→	→	→	→
	f ′(х0)	= 10*B13	= B14 + 10*C13	→	→	→

Тут у рядку 12 знаходимо (–1)ⁿ⁺¹/n замість (–1)^n-1/n у формулі (2). Це не впливає на результат, проте зручніше для підрахунків у цій таблиці. У рядку 13 дістаємо значення доданків з формули (1). У рядку 14 отримуються наближені значення f ′(х₀), причому кількість використаних доданків дорівнює числу у рядку 11 того ж стовпця. В результаті отримаємо таку таблицю:

	A	B	C	D	E	F
	n
	(-1)^(n+1)/n		-0,5	0,333333	-0,25	0,2
	un(x0)	-0,090909	-0,00758	-0,00117	-0,00025	-6,7E-05
	f ' (x0)	-0,909091	-0,98485	-0,9965	-0,999001	-0,99967

Отже, при використанні п’яти доданків у (1) f ′(1) ≈ – 0,99967.

Зауважимо, що не важко підрахувати точне значення похідної f ′(1) = –1. По останньому рядку можна простежити, як значення, отримане за формулою (1), наближається до точного із зростанням числа доданків.

2) Оскільки х = 1,1 – вузол інтерполяції, х = х₁, то відповідні скінчені різниці Δ^jу₁ знаходяться у відповідних чарунках рядка 3; як і раніше, h = 0,1. Таблиця для підрахунків майже ідентична:

	A	B	C	D	E	F
	n
	(–1)^(n+1)/n	= (–1)^C16/B16	→	→	→	→
	un(x)	= C3*B17	→	→	→	→
	f ′(х0)	= 10*B18	= B19 + 10*C18	→	→	→

В результаті отримаємо таку таблицю:

	A	B	C	D	E	F
	n
	(-1)^n/n		-0,5	0,333333	-0,25	0,2
	un(x)	-0,07576	-0,005828	-0,00083	-0,00017	-4,2E-05
	f ' (x)	-0,75758	-0,815851	-0,82418	-0,82584	-0,82626

Отже, при використанні п’яти доданків у (1) f ′(1,1) ≈ – 0,82646.

Задача 2. У точках 1) х = 1 та 2) х = 1,1 оцінити отримані в задачі 1 значення похідної від функції , скориставшись формулою (3).

Розв’язання. Оскільки в задачі 1 n = 5, то згідно з (3) ôR ′ ₅(x₀, f)ô ≤ ôô та ôR ′ ₅(x₁, f)ô ≤ ôô ≈ ôô. Значення Δ⁶у₀ дістаємо з таблиці скінчених різниць задачі 1: Δ⁶у₀ = 0,000125, звідки ôô ≈ 0,000208. Отже, похибка чисельного диференціювання ôR ′ ₅(x₁, f)ô ≤ 0,000208.

Дата добавления: 2014-10-31