Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тема: скінчені різниці, інтерполяційні формули Ньютона для рівновіддалених вузлів




Лабораторна робота 12.

(2г.)

Мета: Отримати відомості про скінчені різниці, про методи інтерполювання функцій

за інтерполяційними формулами Ньютона для рівновіддалених вузлів та

навчитися застосовувати ці методи до конкретних задач.

 

Теоретичні відомості.

Якщо вузли інтерполяції рівновіддалені: х0, х1 = х0 + h, х2 = х0 + 2h, …, хn = х0 + nh, то інтерполяційна формула Ньютона спрощується, а алгоритми стають ефективнішими. Замість поділених різниць у таких випадках використовують скінчені різниці.

Означення 1. Нехай функція у = f (x) задана в точках хk = х0 + kh, де h – дійсна стала, k = 0, 1,…, n, yk = fk). Тоді величини Δуi = Δ f i = fi+1) – fi) називають скінченими різницями першого порядку. Скінчені різниці другого порядку Δ2уi – це різниці перших різниць, тобто Δ2уi = Δ2 f i = Δ f i +1 – Δ f i = fi+2) – 2 fi+1) + fi). Різниці Δnуi порядку n – це різниці різниць порядку n – 1: Δnуi = Δn f i = Δn-1 f i +1 – Δn-1 f i.

Зазначимо, що нижні індекси при Δnуi завжди ті ж самі, що й у від’ємника Δn-1 f i.

Означення 2. Якщо вузли інтерполяції хk = х0 + kh, де h – дійсна стала, k = 0,1,…,n, yk = fk), то таблицю

х           n
х0 y0 Δу0 Δ2у0 Δ3у0 Δnу0
х1 y1 Δу1 Δ2у1 Δ3у1  
х2 y2 Δу2 Δ2у2 Δ3у2    
       
хn-2 yn-2 Δуn-2 Δ2уn-2      
хn-1 yn-1 Δуn-1        
хn yn          

 

називають горизонтальною таблицею її скінчених різниць.

Теорема. Нехай вузли інтерполяції хk = х0 + kh, де h – дійсна стала, k = 0,1,…,n, yk = fk). Тоді інтерполяційна формула Ньютона з поділеними різницями набуває вигляду:

f (x) ≈ Ln(x) = y0 + tΔу0 + Δ2у0 + … + Δnу0, (1)

де t = (х – x0)/h. Інтерполяційну формулу (1) називають першою інтерполяційною формулою Ньютона.

Насправді формулу (1) доцільно використовувати лише, якщо х міститься на початку таблиці, тобто х є [x0; x1]. Тому першу інтерполяційну формулу Ньютона називають також формулою Ньютона для інтерполювання вперед. Якщо х є [x1; x2], то недоцільно користуватись формулою (3) безпосередньо. У цьому разі за перший вузол треба взяти x1 і в інтерполяційному многочлені використовувати скінчені різниці Δу1, Δ2у1, …, Δnу1.

Якщо значення х лежить ближче до кінця відрізкаінтерполювання, то занумерувати вузли треба у зворотному порядку: xn, xn-1, …, x1, x0. Тоді інтерполяційна формула Ньютона з поділеними різницями набуває вигляду:

f (x) ≈ Ln(x) = yn + tΔуn-1 + Δ2уn-2 + … + Δnу0, (2)

де t = (х – хn)/h, її називають другою інтерполяційною формулою Ньютона або формулою Ньютона для інтерполювання назад.

Хід роботи.

Задача 1. Для функції f, заданої таблицею

 

i            
xi   0,2 0,4 0,6 0,8  
yi   0,1974 0,3805 0,5404 0,6747 0,7854

 

знайти її скінчені різниці Δ2у3 , Δ4у3, Δ5у0 .

Розв’язання. Побудуємо таблицю скінчених різниць, звідки й отримаємо шукані значення. Надамо чарункам електронної таблиці таких значень:

 

  A B C D E F G
               
      = B3 – B2
    0,1974  
    0,3805    
    0,5404      
    0,6747        
    0,7854          

У рядку 1 указані порядки скінчених різниць у відповідному стовпці. У стовпці B тут різниці порядку 0, тобто значення функції f у вузлі інтерполяції, номер якого вказаний у стовпці А. Правила копіювання Excel дозволяють отримати у відповідних чарунках саме ті формули, які повинні там бути згідно з означенням 2: так у чарунці Е4 міститься Δ3у2. В результаті отримаємо таку трикутну таблицю:

 

  A B C D E F G
               
      0,1974 -0,01428 -0,00891 0,006519 -0,0022
    0,1974 0,183111 -0,0232 -0,00239 0,004321  
    0,3805 0,159913 -0,02559 0,001927    
    0,5404 0,134321 -0,02366      
    0,6747 0,110657        
    0,7854          

 

Тут Δ3у2 ≈ 0,0019, Δ5у0 ≈ – 0,0022, скінчена різниця Δ4у3 не визначена умовами задачі.

Задача 2. Для функції f, заданої таблицею

 

i              
xi   0,2 0,4 0,6 0,8   1,2
yi   0,1974 0,3805 0,5404 0,6747 0,7854 0,8761

 

знайти наближені значення функції в точках x1* = 0,1 і x2* = 1,1.

Розв’язання. Побудуємо спочатку таблицю скінчених різниць, за якою знайдемо інтерполяційний многочлен Ньютона. Оскільки дана в умові таблиця відрізняється від таблиці в умові задачі 1 тільки доданим шостим вузлом інтерполяції, то і таблицю скінчених різниць цієї задачі можна отримати з такої таблиці попередньої задачі, просто продовживши її копіювання:

  A B C D E F G H
                 
      = B3 – B2
    0,1974  
    0,3805    
    0,5404      
    0,6747        
    0,7854          
    0,8761            

 

В результаті отримаємо таку трикутну таблицю:

 

  A B C D E F G H
                 
      0,1974 -0,01428 -0,00891 0,006519 -0,0022 -0,00038
    0,1974 0,183111 -0,0232 -0,00239 0,004321 -0,00258  
    0,3805 0,159913 -0,02559 0,001927 0,001739    
    0,5404 0,134321 -0,02366 0,003667      
    0,6747 0,110657 -0,02        
    0,7854 0,09066          
    0,8761            

 

Оскільки в даному випадку x1* = 0,1 міститься на початку таблиці, тобто x1* є [x0; x1], то тут доцільно буде скористатися формулою Ньютона дляінтерполюваннявперед, тобто першою інтерполяційною формулою Ньютона (1). У ній задіяні тільки скінчені різниці Δkу0, які всі містяться у рядку 2 останньої таблиці. За умовою t = (x1* – x0)/h = (0,1 – 0)/0,2 = 0,5. Побудуємо таблицю для підрахунків Lk(x1*) (k = 1,…,6). Надамо таких значень чарункам електронної таблиці:

 

  A B C D E F G H
  k              
  t – k 0,5 = 0,5 – C11
  t*…*(t–k+1)   = B13*B12
  k!   = B14*C11
  uk(x1*) = B2*B13/B14
  Lk(x1*) = СУММ($B$15:B15)

 

Тут у рядку 11 позначений номер k одночлена uk(x) = Δkу0 першого інтерполяційного многочлена Ньютона Lk(x). У чарунці В12 значення кроку t = 0,5 вузлів інтерполяції. У рядку 13 підраховуються множники t(t – 1)(t – 2)…(t – k + 1) з номером k, позначеним у рядку 11. У рядку 14 підраховуються значення факторіалу k! з відповідним для цього стовпця номером k. У рядку 15 знаходимо значення одночлена uk(x) з відповідним стовпцю номером k у заданій точці x1*. Нарешті у рядку 16 послідовно знаходимо суми одночленів uk(x1*), шукане значення L6(x1*) дістанемо у чарунці H16.

В результаті отримаємо таку таблицю:

 

  A B C D E F G H
  k              
  t-k 0,5 -0,5 -1,5 -2,5 -3,5 -4,5 -5,5
  t*…*(t-k+1)   0,5 -0,25 0,375 -0,9375 3,28125 -14,7656
  k!              
  uk(x1*)   0,098698 0,001786 -0,00056 -0,00025 -6E-05 7,89E-06
  Lk(x1*)   0,098698 0,100483 0,099926 0,099672 0,099612 0,099619

 

Отже, відповідь f (0,1) ≈ L6(0,1) ≈ 0,099619. Щодо x2* = 1,1, то це значення міститься ближче до кінця відрізкаінтерполювання, x2* є [x5; x6]. Тож тут доцільно скористатися формулою Ньютона дляінтерполювання назад, тобто другою інтерполяційною формулою Ньютона (2). У ній задіяні тільки скінчені різниці Δkуn-k (k = 1,…,n), які за означенням 2 всі містяться на діагоналі горизонтальної таблиці скінчених різниць. Оскільки зручніше для подальших підрахунків тримати всі ці значення на горизонталі, то таблицю скінчених різниць дещо переформуємо у порівнянні з означенням 2:

 

          n – 1 n
y0            
y1 Δу0          
y2 Δу1 Δ2у0        
     
yn-2 Δуn-3 Δ2уn-4 Δ3уn-5    
yn-1 Δуn-2 Δ2уn-3 Δ3уn-4 Δn-1у0  
yn Δуn-1 Δ2уn-2 Δ3уn-3 Δn-1у1 Δnу0

Зауваження. Традиційно цю останню таблицю записують у такому форматі:

 

х у Δу Δ2у Δ3у Δ4у
х0 у0        
    Δу0      
х1 у1   Δ2у0    
    Δу1   Δ3у0  
х2 у2   Δ2у1   Δ4у0
    Δу3   Δ3у1  
х3 у3   Δ2у2    
    Δу4      
х4 у4        

 

Природно, що таку таблицю звичайно називають діагональною. Однак нам зручніше буде використовувати її для розрахунків у попередньому форматі. Отже, надамо чарункам електронної таблиці таких значень:

 

  A B C D E F G H
                 
                 
    0,1974          
    0,3805        
    0,5404      
    0,6747    
    0,7854  
    0,8761 = В25 – В24

 

В результаті отримаємо ту ж саму таблицю скінчених різниць у новому форматі:

 

  A B C D E F G H
                 
                 
  0,2 0,1974 0,197396          
  0,4 0,3805 0,183111 -0,01428        
  0,6 0,5404 0,159913 -0,0232 -0,00891      
  0,8 0,6747 0,134321 -0,02559 -0,00239 0,006519    
    0,7854 0,110657 -0,02366 0,001927 0,004321 -0,0022  
  1,2 0,8761 0,09066 -0,02 0,003667 0,001739 -0,00258 -0,00038

 

Побудуємо таблицю для підрахунку Lk(x2*). Тут за умовою t = (x2* – x6)/h =

(1,1 – 1,2)/0,2 = – 0,5. Надамо чарункам електронної таблиці таких значень:

 

  A B C D E F G H
  k              
  t + k – 0,5 = – 0,5 + C27
  t*…*(t + k–1)   = B29*B28
  k!   = B30*C27
  uk(x2*) = B25*B29/B30
  Lk(x2*) = СУММ($B$32:B32)

 

Вона майже не відрізняється від копії таблиці для підрахунку Lk(x1*) у нові чарунки: лише у чарунці В28 нове значення t = – 0,5, у формулі чарунки С28 заміняємо – на + і у чарунці В31 посилаємось на таблицю скінчених різниць у новому форматі. В результаті отримаємо таку таблицю:

 

  A B C D E F G H
  k              
  t+k -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5
  t*…(t+k-1)   -0,5 -0,25 -0,375 -0,9375 -3,28125 -14,7656
  k!              
  uk(x2*) 0,876058 -0,04533 0,0025 -0,00023 -6,8E-05 7,06E-05 7,89E-06
  Lk(x2*) 0,876058 0,830728 0,833228 0,832999 0,832931 0,833001 0,833009

 

Шукане значення L6(x2*) у чарунці H32. Отже, відповідь f (1,1) ≈ L6(1,1) ≈ 0,833.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-31; Просмотров: 564; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.