КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Уравнение касательной и нормали к графику функции
Приложения производной. 5.1. Геометрический смыл производной: Рассмотрим график функции y = f (x). Из рисунка 1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: , где α - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A, т.е. . Отсюда следует: Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, т.е. . 1. Касательной к графику функции в точке (х0; f(х0) называется предельное положение секущей (АС). Уравнение касательной: y – f (x 0) = 2. Прямая, перпендикулярная касательной (АС) в точке (х0; f(х0), называется нормалью к графику функции. Уравнение нормали: y – f (x 0) = Задача: Составить уравнения касательной и нормали, проведённых к графику функции y=10x-xв точке с абсциссой равной х0=2. Решение: 1. Находим ординату точки касания: f(х0)= f(2)=10∙2–22 =16, 2. Находим угловой коэффициент касательной: f'(х)= (10x-x)'=10-2х, = f' (2)=10–2∙2=6 3. Составляем уравнение касательной: y–16 = 6∙ (х-2), y–16 = 6х–12, y–6х–4 = 0 – уравнение касательной, 4. Составляем уравнение нормали: y –16 = , 6y –96 = –х+2, 6y+х–98=0 – уравнение нормали. 5.2. Физический смысл производной: Определение. Скорость движения тела равна первой производной от пути по времени: 5.3. Механический смысл производной: Определение. Ускорение движения тела равно первой производной от скорости по времени или второй производной пути по времени: Задача: Определить скорость и ускорение точки, движущейся по закону в момент t=4c.
Решение: 1. Находим закон скорости: v= S'= 2. Находим скорость в момент t = 4c: v (t)= v (4)=2∙42+8∙4=64 ед/сек 3. Находим закон ускорения: а=v′ = 4. Находим ускорение в момент t = 4c: а (t)= а( 4)=4∙4+8=24 ед/сек2 РАЗДЕЛ 1.3. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях. Понятие дифференциала функции Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х) ∙ ∆х (1). Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х. Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х. Поэтому формулу (1) можно записать так: dy=ƒ'(х) ∙ dх (2)иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной. Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Пример1: Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x2-sin(l+2x). Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находимdy=(3х2-sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx. Пример2: Найти дифференциал второго порядка функции: y = x3 –7x. Решение: РАЗДЕЛ 1.4. Первообразная. Неопределенный интеграл. Способы вычисления неопределенного интеграла. Определение1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, дифференциал которой равен выражению f(x)dx. Пример: f(x) = 3х2 3х2dx F(x) = х3. Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их. Рассмотрим на примере: F1(x) = х3, F2(x) = х3 + 4, F3(x) = х3 - 2, в общем виде F(x) + С, где С - произвольная константа. Значит для функции f(x)= 3х2 существуют множество первообразных, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым. Определение2. Множество всех первообразных функций f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом от функций f(x) на этом промежутке и обозначается символом ∫f(x)dx.
Этот символ читается так: “интеграл от f(x) по dx”, таким образом по определению: ∫ (x)dx = F(x)+C. Символ ∫ называется знаком интеграла, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, F(x) - какая-либо первообразная, С - постоянная. Основные свойства неопределенного интеграла: 1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. d ∫ f(x)dx = f(x)dx. 2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной: ∫ d F(x) = F(x) + С 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx, k-const. 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от каждой из них: ∫ (f1(x)+f2(x)-f3(x))dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2(x)dx – ∫f3(x)dx.
Дата добавления: 2014-10-31; Просмотров: 2936; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |