![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Интегрирование методом подстановки
Непосредственное интегрирование Основные формулы интегрирования
Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием. Пример 1. Пример 2. Пример 3. Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования. Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берётся непосредственно. Для интегрирования методом подстановки используют схему решения: 1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной; 2) найти дифференциал от обеих частей замены; 3) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл); 4) найти полученный табличный интеграл; 5) выполнить обратную замену. Найдите интегралы: Пример 1 Решение: Пример 2. ∫e-x3x2dx Подстановка: -x3=t, -3x2dx=dt, Решение: ∫e-x3x2dx=∫et(-1/3)dt=-1/3et+C=-1/3e-x3+C Пример 3. Решение: РАЗДЕЛ 1.5. Определенный интеграл, методы его вычисления. п.1 Понятие определенного интеграла Задача. Найти приращение функции, первообразной для функции f(x), при переходе аргумента x от значения a к значению b. Решение. Положим, что интегрированием найдено: ∫ (x)dx = F(x)+C. Тогда F(x)+C1, где С1 - любое данное число, будет одной из первообразных функций для данной функции f(x). Найдем её приращение при переходе аргумента от значения a к значению b. Получим: [F(x)+C1 ]x=b - [F(x)+C1 ]x=a=F(b) +C1 - F(a) -C1 =F(b)-F(a) Как видим, в выражении приращения первообразной функции F(x)+C1 отсутствует постоянная величина C1. А так как под C1 подразумевалось любое данное число, то полученный результат приводит к следующему заключению: при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b все функции F(x)+C, первообразные для данной функции f(x), имеют одно и то же приращение, равное F(b)-F(a). Это приращение принято называть определенным интегралом и обозначать символом: Число а называется нижним пределом интегрирования, число b - верхним; отрезок а ≤ x ≤ b – отрезком интегрирования. Предполагается при этом, что подынтегральная функция f(x) непрерывна при всех значениях x, удовлетворяющих условиям: a x b Определение. Приращение первообразных функций F(x)+C при переходе аргумента x от значения x=a к значению x=b, равное разности F(b)-F(a), называется определенным интегралом и обозначается символом: п.2 Основные свойства определённого интеграла Все свойства сформулированы в предложении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.
п. 3 Непосредственное вычисление определенного интеграла Для вычисления определённого интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница
т.е. определённый интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла: 1) найти неопределенный интеграл от данной функции; 2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла; 3) из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела. Пример 1: Пример 2: Вычислить интеграл: п.4 Вычисление определенного интеграла методом подстановки Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем: 1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной; 2) найти новые пределы определенного интеграла; 3) найти дифференциал от обеих частей замены; 4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл); 5) вычислить полученный определенный интеграл. Пример 1: Вычислить интеграл: Подстановка: 1+cosx=t, -sinxdx = dt, РАЗДЕЛ 1.6. Геометрический смысл определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции: Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла.
Ответ: S = 9 ед2
В данном случае: Ответ: Внимание! Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус. РАЗДЕЛ 1.7. Применение определенного интеграла п.1 Вычисление объема тела вращения
Объем тела вращения равен: Пример:
Решение: V
РАЗДЕЛ 3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения п.1 Понятие о дифференциальном уравнении Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее функцию от совокупности переменных и их производных. Общий вид такого уравнения п.2 Основные понятия дифференциального уравнения Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него. Например:
Всякая функция, связывающая переменные и обращающая дифференциальное уравнение в верное равенство, называется решением дифференциального уравнения. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция Общее решение, записанное в неявном виде Частным решением уравнения Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения n-го порядка (n= 1,2,3,…), удовлетворяющего начальным условиям вида
называется задачей Коши. п.3 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение первого порядка Чтобы решить уравнение такого вида надо: 1. Разделить переменные; 2. Интегрируя уравнение с разделенными переменными, найти общее решение данного уравнения; 3. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы). Пример 1. Решить уравнение Решение: Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения: Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид Пример 2. Найдите частное решение уравнения Решение: Подставляем значения х и у в частное решение: Пример 3. Найдите общее решение уравнения п.4 Дифференциальные уравнения порядка выше первого Уравнение вида Пример 1. Решить уравнение Решение: Пример 2. Решить уравнение
РАЗДЕЛ 3.2. Числовой ряд, его члены Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида где Так, можно говорить о действительных рядах, для которых Для сокращенного обозначения рядов используется знак суммирования
Определение 2. Числа Определение 3. Ряд (3) называется рядом геометрической прогрессии. Если, например, a = 1, q = 1/2, то получим ряд 1 + Определение 4. Ряд Другие примеры рядов:
Определение 5. Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой ряда. Признак Даламбера. Теорема. Пусть дан ряд (1) с положительными членами. Допустим, что Тогда: 1) если 2) если 3) если Пример 1: Исследовать на сходимость ряд: Пример 2: Исследовать на сходимость ряд Решение: Пример 3: Исследуйте на сходимость ряд: Решение: Имеем Раздел 3.3. Основы теории вероятностей и математической статистики
Дата добавления: 2014-10-31; Просмотров: 9991; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |