Економіко-математичні моделі

Економіко-математичною моделлю (ЕММ) називається вираження, що складається із сукупності зв'язаних між собою математичними залежностями (формулами, рівняннями, нерівностями, логічними умовами) величин – факторів, всі або частина яких мають економічний сенс. По своїй ролі в ЕММ ці фактори доцільно підрозділити на параметри і характеристики (мал.2.5).

При цьому параметрами об'єкта називаються фактори, що характеризують властивості об'єкта або складових його елементів. У процесі дослідження об'єкта ряд параметрів може зміняться, тому вони називаються перемінними, котрі у свою чергу підрозділяються на перемінні стани і перемінні керування. Як правило, перемінні стани об'єкта є функцією перемінного керування і впливів зовнішнього середовища. Характеристиками (вихідними характеристиками) називаються безпосередні кінцеві результати функціонування об'єкта, що цікавлять дослідника (природно, що вихідні характеристики є перемінними стану). Відповідно характеристики зовнішнього середовища описують властивості зовнішнього середовища, що позначаються на процесі і результату функціонування об'єкта. Значення ряду факторів, що визначають початковий стан об'єкта або зовнішнього середовища, називаються початковими умовами.

При розгляді ЕММ оперують наступними поняттями: критерій оптимальності, цільова функція, система обмежень, рівняння зв'язку, рішення моделі (мал.2.6).

Критерієм оптимальності називається деякий показник, що має економічний зміст, службовець формалізацією конкретної мети керування і, що виражається при допомозі цільової функції через фактори моделі. Критерій оптимальності визначає значений зміст цільової функції. У ряді випадків як критерій оптимальності може виступати одна з вихідних характеристик об'єкта.

Цільова функція математично зв'язує між собою фактори моделі. А її значення визначається значеннями цих величин. Змістовний зміст цільової функції додає тільки критерій оптимальності.

Не слід змішувати критерій оптимальності і цільову функцію. Так, наприклад, критерій прибутку і критерій вартості зробленої продукції можуть описуватися однієї і тією же цільовою функцією:

(1)

де номенклатура виробленої продукції; - обсяг випуску i-й номенклатури; С_i – вартість або прибуток від випуску одиниці i-й номенклатури в залежності від змісту критерію оптимальності.

Критерій прибутку може розраховуватися і по нелінійній цільовій функції:

(2)

якщо прибуток від випуску i-й номенклатури є функцією від обсягу випуску x_{i .}

При наявності декількох критеріїв оптимальності кожний з них буде формалізований своєю приватною цільовою функцією E_k, де - число критеріїв оптимальності. Для однозначного вибору оптимального рішення дослідник може сформувати нову цільову функцію

(3)

Однак ця цільова функція може вже не нести економічного змісту, у цьому випадку критерій оптимальності для неї відсутній.

Система обмежень визначає межі, звужуючи область здійсненних, прийнятних або припустимих рішень і фіксуючі основні зовнішні і внутрішні властивості об'єкта. Обмеження визначають область протікання процесу, межі зміни параметрів і характеристик об'єкта.

Рівняння зв'язку є математичною формалізацією системи обмежень. Між поняттями «система обмежень» і «рівняння зв'язку» існує точно така ж аналогія, як і між поняттями «критерій оптимальності» і «цільова функція»: різні за змістом обмеження можуть описуватися однаковими рівняннями зв'язку, а те саме обмеження в різних моделях може записуватися різними рівняннями зв'язку.

Таким чином, саме критерій оптимальності і система обмежень у першу чергу визначають концепцію побудови майбутньої математичної моделі, тобто концептуальну модель, а їхня формалізація, тобто цільова функція і рівняння зв'язку, являє собою математичну модель.

Рішенням математичної моделі називається такий набір (сукупність) значень перемінних, котрий задовольняє її рівнянням зв'язку. Рішення, що мають економічний зміст, називаються структурно припустимими. Моделі, що мають багато рішень, називаються варіантними у відмінності від безваріантних, що мають одне рішення. Серед структурно припустимих рішень варіантної моделі, як правило, знаходиться одне рішення, при якому цільова функція в залежності від змісту моделі має найбільше або найменше значення. Таке рішення, як і відповідне значення цільової функції називається оптимальним (зокрема, найбільшим або найменшим).

Дата добавления: 2014-10-31