Проблема вибору рішення в умовах невизначеності

У попередньому параграфі ми розглянули зворотну задачу дослідження операцій у детермінованому випадку, коли показник ефективності W залежить тільки від двох груп факторів: заданих, заздалегідь відомих α і елементів рішення х. Реальні задачі дослідження операцій найчастіше містять крім цих двох груп ще одну — невідомі фактори, що у сукупності ми позначимо одною буквою ξ. Отже, показник ефективності W залежить від усіх трьох груп факторів:

W = W(a, х, ξ.). (4)

Тому що величина W залежить від невідомих факторів ξ., то навіть при заданих a і х вона вже не може бути обчислена, залишається невизначеною. Задача пошуку оптимального рішення теж утрачає визначеність. Отже не можемо ж ми максимізувати невідому величину W. І все-таки нас не залишає бажання зробити цю невідому величину по можливості максимальною. Отже домагаються ж успіху люди в умовах, коли не вся обстановка ясна? Іноді домагаються. Переводячи сказане на математичну мову, поставимо перед собою наступну задачу:

при заданих умовах а, з урахуванням невідомих факторів ξ, знайти таке рішення хХ, що, по можливості, забезпечує максимальне значення показника ефективності W.

Це вже інша, не чисто математична задача (недарма в її формулюванні зроблено застереження «по можливості»). Наявність невизначених факторів переводить задачу в нову якість: вона перетворюється в задачу про вибір рішення в умовах невизначеності.

Помислимо небагато про виниклу задачу. Насамперед, будемо чесні: невизначеність є невизначеність, і нічого гарного в ній немає. Якщо умови операції невідомі, ми не можемо так само успішно оптимізувати рішення, як ми це зробили б, якби мали більшу інформацію. Тому будь-яке рішення, прийняте в умовах невизначеності, гірше рішення, прийнятого в заздалегідь відомих умовах. Що робити? Погане або гарне — рішення все рівно повинно бути прийняте. Наша справа — додати цьому рішенню в можливо більшій мірі риси розумності. Недарма Т. Л. Сааті, один з видних закордонних фахівців з дослідження операцій, визначаючи свій предмет, говорить не без іронії: «Дослідження операцій являє собою мистецтво давати погані відповіді на практичні питання, на які даються ще гірші відповіді іншими методами».

Приклад 1. Задача ухвалення рішення в умовах невизначеності на кожнім кроці зустрічається нам у житті. Наприклад, ми зібралися подорожувати й укладаємо у валізу речі. Розміри і вага валізи, а також наявний у нас набір речей задані (умови α), погода в районі подорожі заздалегідь невідома (умови ξ). Які предмети одягу (x) треба взяти із собою? Ця задача, зовні подібна з задачами дослідження операцій, звичайно, вирішується нами без усякої математики (нема чого «стріляти з гармат по горобцях»), але все-таки не без опори на деякі статистичні дані, скажемо, про ймовірну погоду в районі подорожі, а також власної схильності до застуд. Щось начебто оптимізацію рішення, свідомо або несвідомо, ми робимо. Цікаво, що різні люди при цьому, очевидно, користуються різними показниками ефективності. Якщо молода людина, швидше за все, прагне максимізувати суму приємних вражень (залишимо осторонь питання про те, як її оцінити кількісно), то літній мандрівник, мабуть, зволіє мінімізувати імовірність захворювання.

Приклад 2. Тепер візьмемо більш серйозну задачу. Планується асортимент товарів для розпродажу на ярмарку. Бажано було б максимізувати прибуток. Однак заздалегідь невідомо ні кількість покупців, що прийдуть на ярмарок, ні потреби кожного з них. Як бути? Невизначеність у наявності, а приймати рішення потрібно!

Приклад 3. Інший приклад: проектується система споруджень, що оберігають район від паводків. Ні моменту їхнього настання, ні розміри заздалегідь невідомі. А проектувати все-таки потрібно, і ніяка невизначеність не відведе нас від цього обов'язку...

Приклад 4. Нарешті, ще більш складна задача: розробляється план розвитку озброєння на кілька років уперед. Невідомі ні конкретний супротивник, ні озброєння, яким він буде розташовувати. А рішення приймати треба!

Для того, щоб такі рішення приймати не навмання, по натхненню, а тверезо, з відкритими очима, сучасна наука має декілька прийомів. Яким з них скористатися — залежить від того, яка природа невідомих факторів?, відкіля вони виникають і ким контролюються. Іншими словами, з якого виду невизначеністю ми в даній задачі зіштовхуємося?

У читача може виникнути питання: невже можна класифікувати невизначеність по «родах» і «сортам»? Виявляється, можна.

Насамперед, розглянемо найбільш сприятливий для дослідження, так сказати, «доброякісний» вид невизначеності. Це випадок, коли невідомі фактори являють собою звичайні об'єкти вивчення теорії імовірностей — випадкові величини (або випадкові функції), статистичні характеристики яких нам відомі або в принципі можуть бути отримані до потрібного терміну. Такі задачі дослідження операцій ми будемо називати стохастичними задачами, а властиву їм невизначеність — стохастичною невизначеністю).

Приклад 5. Приведемо приклад стохастичної задачі дослідження операцій. Нехай організується або реорганізується робота їдальні з метою підвищити її пропускну здатність. Нам у точності невідомо, яка кількість відвідувачів прийде в неї за робочий день, коли саме вони будуть з'являтися, які блюда замовляти, скільки часу буде продовжуватися обслуговування кожного з них. Однак характеристики цих випадкових величин, якщо зараз ще не знаходяться в нашому розпорядженні, можуть бути отримані статистичним шляхом.

Приклад 6. Інший приклад: організується система профілактичного й аварійного ремонту технічних пристроїв з метою зменшити простої техніки за рахунок несправностей і ремонтів. Відмовлення техніки, тривалості ремонтів і профілактик носять випадковий характер. Характеристики усіх випадкових факторів, що входять у задачу, можуть бути отримані, якщо зібрати відповідну статистику.

Розглянемо більш докладно цей «доброякісний» вид невизначеності. Перше, що приходить у голову: а чи не можна замінити випадкові фактори x їхніми середніми значеннями (математичними чеканнями)? Тоді задача стає детермінованою і може бути вирішена звичайними методами.

Що і говорити — прийом звабний і в деяких випадках навіть виправданий. Адже на практиці, вирішуючи більшість задач фізики, механіки, техніки, ми суцільно і поруч їм користуємося, зневажаючи випадковість ряду параметрів (теплоємність, індуктивність, коефіцієнт тертя) і заміняючи їх середніми значеннями. Усе питання в тім, наскільки випадкові ці параметри: якщо вони мало відхиляються від своїх математичних чекань, так надходити можна і потрібно. Так само обстоїть справа й у дослідженні операцій: є задачі, у яких випадковістю можна зневажити. Наприклад, якщо ми складаємо план постачання групи підприємств сировиною, можна в першому наближенні зневажити, скажемо, випадковістю фактичної продуктивності джерел сировини (якщо, зрозуміло, його виробництво гарне налагоджено). Той же прийом — зневажити випадковістю і замінити усі вхідні в задачу випадкові величини їхніми математичними чеканнями — буде вже необачним, якщо вплив випадковості на цікавлячий нас результат операції істотно.

Приклад 7. Візьмемо самий грубий приклад: нехай ми ведемо обстріл якоїсь мети, прагнучи будь-що потрапити в неї. Виробляється кілька пострілів. Давайте замінимо усі випадкові координати крапок улучення їхнім математичним чеканням— центром мети. Вийде, що будь-який постріл з гарантією потрапить у мету, що свідомо невірно.

Приклад 8. Інший, менш очевидний, приклад: планується робота ремонтної майстерні, що обслуговує автобазу. Зневажимо випадковістю моменту появи несправності (тобто замінимо випадковий час безвідмовної роботи машини його математичним чеканням) і випадковістю часу виконання ремонту. І що ж виявиться? Майстерня, робота якої спланована без обліку випадковості, попросту не буде справлятися зі своєю задачею. Зустрічаються (і дуже часто) операції, у яких випадковість входить власне кажучи, і звести задачу до детермінованої не вдається. Про такі задачі ми поговоримо в наступних лекціях.

Дата добавления: 2014-10-31