Постановка задачі оптимізації в загальній формі для «детермінованого» випадку

Докладніше про зворотні задачі

3.1. Рішення простим перебором. Зупинимося трохи докладніше на зворотних задачах. Якщо число можливих варіантів рішення, що утворять безліч X, невелике, то можна попросту обчислити величину W для кожного з них, порівняти між собою отримані значення і безпосередньо вказати один або кілька оптимальних варіантів, для яких W досягає максимуму. Такий спосіб перебування оптимального рішення називається «простим перебором».

3.2. Рішення спрямованим перебором. Однак, коли число можливих варіантів рішення, що утворять безліч X, велике, пошук серед них оптимального варіанта «наосліп», простим перебором, скрутний, а найчастіше практично неможливий. У цих випадках застосовуються методи «спрямованого перебору», що володіють тією загальною особливістю, що оптимальне рішення знаходиться поруч послідовних «спроб» або «наближень», з яких кожне наступне наближає нас до шуканого оптимального. З деякими з таких методів ви познайомитеся в подальших лекціях.

Зараз ми обмежимося постановкою задачі оптимізації рішення (тобто зворотної задачі дослідження операцій) у самій загальній формі.

Нехай мається деяка операція О, на успіх якої ми можемо якоюсь мірою впливати, вибираючи тим або іншим способом рішення х (нагадаємо, що х — не число, а ціла група параметрів). Нехай ефективність операції характеризується одним показником W max.

Візьмемо найпростіший, так називаний «детермінований» випадок, коли всі умови операції цілком відомі заздалегідь, тобто не містять невизначеності. Тоді усі фактори, від яких залежить успіх операції, поділяються на дві групи:

1) задані, заздалегідь відомі фактори (умови виконання операції), що ми для стислості позначимо одною буквою α;

2) залежні від нас елементи рішення, що утворюють у своїй сукупності рішення х.

Помітимо, що перша група факторів містить, зокрема, і обмеження, що накладаються на рішення, тобто визначає область можливих рішень X.

Показник ефективності W залежить від обох груп факторів. Це ми запишемо у виді формули:

W = W(a, х) (1)

При розгляді формули (3.1) не треба забувати, що як х, так і α у загальному випадку — не числа, а сукупності чисел (вектори), функції і т.д. У числі заданих умов звичайно присутні обмеження, що накладаються на елементи рішення, що мають вид рівностей або нерівностей.

Будемо вважати, що вид залежності (3.1) нам відомий, тобто пряма задача вирішена. Тоді зворотна задача формулюється в такий спосіб:

при заданому комплексі умов a знайти таке рішення х = х*, що звертає показник ефективності W у максимум.

Цей максимум ми позначимо як:

W* = {(W(a,x)}. (2)

Формула (3.2) читається так: W* є максимальне значення W(a, х), узяте по всіх рішеннях, що входить у безліч можливих рішень X.

До формул такого типу треба звикати. Вони знадобляться надалі.

Отже, перед нами — типова математична задача перебування максимуму функції або функціонала.

Дата добавления: 2014-10-31