Z-преобразования

1. Свойство линейности.

Оба преобразования: непрерывное Лапласа и Z -преобразование, - являются линейными, т. е. изображение линейной комбинации функций равно линейной комбинации их изображений.

Так если , то

.

· Изображение смещенной функции (теорема сдвига)

Сдвигу функции оригинала на t, т. е. соответствует умножение непрерывного изображения на :

.

Если сдвиг t = mT (T - интервал дискретности), то Z – или Z _s - изображения функции f (t) умножаются на Z^-m

.

Частотные случаи последнего свойства:

1) m = +1; .

Т. е. Z ^-1 – оператор запаздывания на один период дискретности;

2) m = -1; ;

Z – оператор опережения на один период дискретности.

· Изображение производной (конечной разности) n -порядка

Если , то , при f (0) = 0 и всех ,
k = 1, 2, …, n -1. Другими словами взятию производной n -го порядка соответствует при нулевых начальных условиях умножение изображения на sⁿ.

Аналогично для Z -преобразования (приводим формулировку свойства для s = 0) взятию разности k -го порядка дискретной функции f (nT) соответствует умножение ее изображения на : , где.

2. Изображение интеграла (конечной суммы) функции-оригинала

Свойства изменения изображений функции после ее интегрирования или взятия конечной суммы в дискретном варианте является “обратными” по отношению к свойствам дифференцирования или взятия конечных разностей:

Резюмируя свойства 3 и 4 отметим, что s – оператор дифференцирования в непрерывной области; 1/ s – оператор интегрирования в непрерывной области; - оператор суммирования в дискретном времени; - оператор взятия конечной разности 1-го порядка.

· Свойство изображения свертываемых функций (теорема свертки)

Сверткой двух непрерывных или дискретных функций называется функция, значения которой вычисляются согласно для непрерывного времени и для дискретного времени.

Формулировка свойства об изображении свертки одинакова для непрерывного и дискретного времени:

- изображение свертки равно произведению изображений свертываемых функций.

Если и , то

.

Если и , то

.

3. Определение начального значения функции оригинала по известному изображению

Зная изображение (F (s) в непрерывном случае и F (z) или F (z,s) в дискретном случае) можно сравнительно просто вычислить начальное и конечное значения функции-оригинала.

Начальное значение непрерывной функции

.

Начальное значение дискретной функции

.

4. Конечное значение функции-оригинала

В непрерывном времени .

В дискретном времени и при s ¹ 0

.

Рассмотрим еще несколько свойств, полезных для выполнения несложных преобразований.

5. Свойство изображения функции, умноженной на

Для дискретного времени это свойство записывается следующим образом:

Если , то , где d = .

В частном случае s = 0 имеем

, где d = .

Записанное свойство позволяет без труда найти изображение экспоненциальной функции

Для непрерывного времени в рамках этого свойства определяется изображение

.

6. Свойство изображения функции, умноженной на t^m ( m – целое число)

Это свойство имеет особое значение для дискретных систем, так как для непрерывных систем составлены подробнейшие таблицы соответствий функций и их изображений [6].

Для дискретных систем свойство формулируется отдельно для случаев s = 0 и s ¹ 0.

Для s = 0 имеем

.

Словами: умножению функции-оригинала t^m соответствует, с точностью до множителя, взятие m -производной в области изображений.

Пример.

.

Для s ¹ 0 выражение изображения находится более сложно:

.

Здесь - число сочетаний из m элементов по i.

Дата добавления: 2014-10-31